《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

10. (2023 秋·沂源县期末)$AB$、$CD$ 是 $\odot O$ 的弦，$OC$、$OD$ 分别交 $AB$ 于点 $E$、$F$，且 $OE = OF$。求证：$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$。

答案： 10. 略

11. 如图所示，以 $□ ABCD$ 的顶点 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径作圆，分别交 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$，延长 $BA$ 交 $\odot A$ 于 $G$。
(1) 求证：$\overset{\frown}{GE} = \overset{\frown}{EF}$；
(2) 若 $\overset{\frown}{BF}$ 的度数为 $70^{\circ}$，求 $\angle C$ 的度数。

答案： 11.
(1) 证明：连接AF.
∵A为圆心，
∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC,∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF，
∴∠DAF=∠GAD，
∴$\overset{\frown}{GE} = \overset{\frown}{EF}$；
(2) 解：
∵BF的度数为70°，
∴∠BAF=70°，
∵AB=AF，
∴∠B=∠AFB=55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠C=180°-∠B=125°.

12. (2025·沈阳模拟)如图，$\odot O$ 中，点 $A$、$B$、$C$ 在圆上，且弧 $AB$ 长等于弧 $AC$ 长的 $2$ 倍，则下列结论正确的是(C)

A.$AB = 2AC$
B.$AB ＞ 2AC$
C.$AB ＜ 2AC$
D.以上结论都不对

答案： 12. C

13. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，以 $A$ 为圆心，$AD$ 长为半径画弧，交 $AB$ 于 $E$ 点。取 $BC$ 的中点为 $F$，过 $F$ 作一直线与 $AB$ 平行，且交 $\overset{\frown}{DE}$ 于 $G$ 点，则 $\angle AGF =$(D)

A.$110^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案： 13. D

14. 如图，$A$、$B$ 是圆 $O$ 上的两点，$\angle AOB = 120^{\circ}$，$C$ 是劣弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点。
(1) 试判断四边形 $OACB$ 的形状，并说明理由；
(2) 延长 $OA$ 至 $P$，使得 $AP = OA$，连接 $PC$，若圆 $O$ 的半径 $R = 2$，求 $PC$ 长。

答案： 14. 解：
(1) 四边形OACB是菱形. 理由：连接OC，
∵∠AOB=120°,C是劣弧$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac {1} {2}$∠AOB=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC与△BOC都是等边三角形，
∴AC=OA=OC=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形.
(2)
∵AP=OA,AC=OA,
∴AP=AC，
∴∠P=∠ACP=$\frac {1} {2}$∠OAC=30°，
∴∠OCP=90°，
∵R=2,
∴OC=2,OP=4，
∴PC=$2\sqrt {3}$.