《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

12. (2025·扬州二模)如图, ∠ACB = 60°, ⊙O 的半径为 3 且与∠ACB 两边都相切, 点 P 为圆上一动点, 分别作 PM ⊥ CA,PN ⊥ CB, 令 s = PM + 2PN, 则 s 的最大值与最小值的差为$6\sqrt{3}$.

答案： 12. $6\sqrt{3}$

13. 如图, 在▱ABCD 中, ∠DAB = 60°,AB = 15 cm. 已知⊙O 的半径等于 3 cm,AB,AD 分别与⊙O 相切于点 E,F. ⊙O 在▱ABCD 内沿 AB 方向滚动, 与 BC 边相切时运动停止. 试求⊙O 滚过的路程.

答案：
13. 解：连接 OE, OA. $\because$ AB, AD 分别与⊙O 相切于点 E, F，
$\therefore OE \perp AB$，$OE = 3 cm$，$\therefore \angle OAE = 30^{\circ}$。
在 Rt$\triangle AOE$ 中，$AE = 3\sqrt{3} cm$. $\because AD//BC$，
$\angle DAB = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = 120^{\circ}$。
设当运动停止时，⊙O 与 BC, AB 分别相切于点 M, N，
连接 ON, OB. 同理可得 $BN = \sqrt{3} cm$，
$\therefore EN = AB - AE - BN = 15 - 3\sqrt{3} - \sqrt{3} =$
$(15 - 4\sqrt{3}) cm$，
$\therefore$ ⊙O 滚过的路程为$(15 - 4\sqrt{3}) cm$。

14. 已知△ABC 的内切圆⊙O 与 AB,BC,AC 分别相切于点 D,E,F, 若⌢{EF} = ⌢{DE}, 如图 1.
(1) 判断△ABC 的形状, 并证明你的结论;
(2) 设 AE 与 DF 相交于点 M, 如图 2,AF = 2FC = 4, 求 AM 的长.

答案： 14.
(1) 解：$\triangle ABC$ 为等腰三角形.
证明：$\because \triangle ABC$ 的内切圆⊙O 与 AB, BC, AC 分别切于点 D, E, F，
$\therefore \angle CFE = \angle CEF = \angle BDO = \angle BEO = 90^{\circ}$。
$\because$ 四边形内角和为 $360^{\circ}$，$\therefore \angle EOF + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle DOE + \angle B = 180^{\circ}$。
$\because EF = DE$，$\therefore \angle EOF = \angle DOE$，
$\therefore \angle B = \angle C$，$AB = AC$，$\therefore \triangle ABC$ 为等腰三角形。
(2) $AM = \frac{8\sqrt{2}}{3}$