《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

11. (2024·南充模拟)已知关于$x$的方程为$x^{2}-2(m + 2)x + m^{2}+4 = 0$。
(1) 若方程有两个实数根，求实数$m$的取值范围；
(2) 设方程的实数根为$x_{1},x_{2}$，求$y = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的最小值。

答案： 11.
(1)
∵方程$x^{2}-2(m + 2)x + m^{2} + 4 = 0$有两个实数根，
∴$△=[-2(m + 2)]^{2}-4×1×(m^{2} + 4)=16m$
≥0，
∴m≥0；
(2)由根与系数关系得$x_{1}+x_{2}=2(m + 2)，$
$x_{1}·x_{2}=m^{2} + 4，$
∴$y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2(m +$
$4)^{2}-24，$
∵m≥0，
∴$y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的最小值是8.

12. (2024·遂宁)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$。
(1) 求证：无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2) 如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，求$m$的值。

答案： $12.(1)x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0，$
∴$△=b^{2}-4ac$
$=[-(m + 2)]^{2}-4×1×(m - 1)$
$=m^{2}+4m + 4 - 4m + 4$
$=m^{2}+8.$
∵$m^{2}≥0，$
∴△＞0.
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}，$
则$x_{1}+x_{2}=m + 2,x_{1}x_{2}=m - 1.$
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9，$即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}$
=9，
∴$(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9.$
整理，得$m^{2}+m - 2 = 0.$
∴(m + 2)(m - 1)=0.
解得$m_{1}=-2,m_{2}=1.$
∴m的值为-2或1.

13. (2024·成都)若$m,n$是一元二次方程$x^{2}-5x + 2 = 0$的两个实数根，则$m+(n - 2)^{2}$的值为7。

答案： 13.7

14. 若$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+x - 3 = 0$的两个实数根，则$x_{2}^{3}-4x_{1}^{2}+17$的值为(A)

A.$-2$
B.$6$
C.$-4$
D.$4$

答案： 14.A

15. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}=0$有两个实数根$x_{1}$和$x_{2}$。
(1) 求实数$m$的取值范围；
(2) 当$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$时，求$m$的值。

答案： $15.(1)m≤\frac{1}{4}$
(2)解：由$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0，$得$(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})$
=0.
若$x_{1}+x_{2}=0，$即-(2m - 1)=0，解得$m=\frac{1}{2}.$
∵$\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}，$
∴$m=\frac{1}{2}$不合题意，舍去；
若$x_{1}-x_{2}=0，$即$x_{1}=x_{2}，$
∴△=0，由
(1)知$m=\frac{1}{4}.$
综上所述，当$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$时，$m=\frac{1}{4}.$

16. (2025春·舟山期中)已知关于$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个实数根，若满足$\vert x_{1}-x_{2}\vert = 1$，则此类方程叫做差根方程。根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1) 已知关于$x$的方程$x^{2}+2ax = 0$是“差根方程”，求$a$的值。
(2) 已知$\triangle ABC$是直角三角形，$BC$的长为$\sqrt{5}$，若$\triangle ABC$的两边$AB、AC$的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程。

答案： 16.
(1)
∵$x^{2}+2ax = 0，$
∴$x_{1}=0,x_{2}=-2a，$
∵方程$x^{2}+2ax = 0$是“差根方程”，
∴$2a = ±1,a = ±\frac{1}{2}；$
(2)设$AB = x_{1},AC = x_{2}$
当BC为斜边时，$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}，$$BC=\sqrt{5}，$
∴$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5，$
∵|$x_{1}-x_{2}$|=1，
∴$(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=1，$
解得$x_{1}x_{2}=2，$
∴$x_{1}+x_{2}=3，$
∴方程为$x^{2}-3x + 2 = 0，$
当AB为斜边，则$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}，$
$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=5，$
∴$(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=5，$
由题意知|$x_{1}-x_{2}$|=1，且$x_{1}+x_{2}＞0，$
∴$x_{1}-x_{2}=1,x_{1}+x_{2}=5$
∴方程为$x^{2}-5x +$
6 = 0，
综上，这个差根方程为$x^{2}-3x + 2 = 0$和$x^{2}-$
5x + 6 = 0.