《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

8. (2024·石阡县模拟)如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 边于点 D，交 CA 的延长线于点 E，连接 AD，DE.
(1) 求证：BD = CD；
(2) 若 AB = 5，DE = 4，求 AD 的长.

答案： 8.
(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BD，
又
∵AB=AC,
∴BD=CD;
(2) 解：
∵AB=5,DE=4，
∴AB=AC=5,
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠E,
∴∠E=∠C，
∴DE=DC=4，
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=3.$

9. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⌢{BD}的中点，CE⊥AB 于点 E，BD 交 CE 于点 F.
(1) 求证：CF = BF；
(2) 若 CD = 6，AC = 8，求⊙O 的半径及 CE 的长.

答案： 9.
(1) 证∠DBC=∠A=∠BCF,得CF=BF
(2) ⊙O的半径为5,CE的长是$\frac{24}{5}$

10. 如图，半圆 O 的直径 AB = 7，两弦 AC，BD 相交于点 E，∠DBC = 30°，且 BD = 5，则 DE =$2\sqrt{2}$。

答案： $10.2\sqrt{2}$

11. (2025·南通模拟)如图 1，BC 是⊙O 的直径，点 A、D 在⊙O 上，连接 BD、CD，DB//OA，BC = 10，AC = 2√{5}.
(1) 求证：AO⊥CD；
(2) 求 BD 的长；
(3) 如图 2，连接 AB，作∠CAB 的角平分线交⊙O 于 F，求 AF 的长度.

答案： 11.
(1) 证明：
∵BC是⊙O的直径,
∴∠D=90°，
∵OA//BD,
∴∠CEO=∠D=90°，
∴AO⊥CD;
(2) 解：连接AB,作AH⊥BC于H，
OM⊥BD于M,则BM=DM，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB=90°,
∴$AB=4\sqrt{5}，$
∵$\frac{1}{2}AH·BC=\frac{1}{2}AC·AB,$
∴AH=4，
在Rt△OAH中,OH=3，
∵OA//BD,
∴∠AOH=∠EBO，
∴△AOH≌△OBM(ASA)，
∴BM=OH=3，
∴BD=2BM=6;
(3) 解：作CG⊥AF于G,连接CF、BF，
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠BAF=45°，
∴CF=BF,
∴△CBF为等腰直角三角形，
∴$CF=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=5\sqrt{2}，$
在Rt△ACG中$,CG=AG=\sqrt{10}，$
在Rt△GFC中$,GF=2\sqrt{10}，$
∴$AF=AG+GF=3\sqrt{10}.$