《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

9. 点$A$，$B$，$C$是半径为$5\ cm$的圆上三点，$\angle BAC = 90^{\circ}$，则弧$BC$的长为5π$cm$.

答案： 9.$5\pi$

10. 如图，在平面直角坐标系中，点$O$为坐标原点，点$P$在第一象限，$\odot P$与$x$轴交于$O$，$A$两点，点$A$的坐标为$(6,0)$，$\odot P$的半径为$\sqrt{13}$，则点$P$的坐标为(3,2).
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答案： 10.$(3,2)$

11. 如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$AB$是直径，$D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点.
(1) 求证：$OD // BC$.
(2) 连接$AC$，若$AB = 5$，$CD = 2$，求$AC$的长.
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答案： 11. 解：
(1) 连接AC, 交OD于E，
$\because$AB是⊙O的直径，
$\therefore AC\perp BC$，
$\because$点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
$\therefore OD\perp AC$，
$\therefore OD// BC$；
(2) 连接OC，
由
(1)可得，$OD\perp AC$.
$\because AB = 5$，$\therefore OC = OD = 2.5$，
$\therefore$设$DE = x$，则$OE = 2.5 - x$。
在$Rt\triangle CDE$中，$CE^{2} = CD^{2} - DE^{2}$，
在$Rt\triangle OCE$中，$CE^{2} = OC^{2} - OE^{2}$，
$\therefore 4 - x^{2} = 2.5^{2} - (2.5 - x)^{2}$。
解得$x = \frac{4}{5}$。$\therefore CE = \frac{2\sqrt{21}}{5}$，
$\therefore AC = 2CE = \frac{4\sqrt{21}}{5}$。

12. (2023 春·丰城市期末)如图，$\angle BAC$的平分线交$\triangle ABC$的外接圆于点$D$，$\angle ABC$的平分线交$AD$于点$E$.
(1) 求证：$DE = DB$；
(2) 若$\angle BAC = 90^{\circ}$，$BD = 4$，求$\triangle ABC$外接圆的半径.
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答案： 12.
(1) 证明：$\because AD$平分$\angle BAC,BE$平分$\angle ABC$，
$\therefore\angle BAD = \angle CAD,\angle ABE = \angle CBE$，
$\because\angle BED = \angle BAE + \angle ABE,\angle DBE = \angle EBC + \angle CBD,\angle CBD = \angle CAD$，
$\therefore\angle BED = \angle EBD$，
$\therefore DE = DB$；
(2) 解：连接CD，
$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore BC$是直径，
$\therefore\angle BDC = 90^{\circ}$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore\angle BAD = \angle CAD$，
$\therefore\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$，$\therefore BD = CD$，
$\because BD = 4$，
$\therefore BC = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = 4\sqrt{2}$，
$\therefore \triangle ABC$外接圆的半径为$2\sqrt{2}$。

13. (2024 秋·温州期末)如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$AE \perp CB$交$CB$的延长线于点$E$，若$BA$平分$\angle DBE$，$AD = 6$，$CE = 4$，则$AE$的长为2√5.
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答案： 13.$2\sqrt{5}$

14. 如图，四边形$ABCD$为正方形，$\odot O$过正方形的顶点$A$和对角线的交点$P$，分别交$AB$，$AD$于点$F$，$E$.
(1) 求证：$DE = AF$；
(2) 若$\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AB = \sqrt{2} + 1$，求$\frac{AE}{DE}$的值.
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答案： 14.
(1) 略
(2) 解：连EF，
$\because\angle BAD = 90^{\circ}$，
$\therefore EF$为⊙O的直径，
而⊙O的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore EF = \sqrt{3}$，
$\therefore AF^{2} + AE^{2} = EF^{2} = (\sqrt{3})^{2} = 3$，
而$DE = AF$，
$\therefore DE^{2} + AE^{2} = 3$①.
又$\because AD = AE + DE = AB$，
$\therefore AE + DE = \sqrt{2} + 1$②.
由①②联立起来组成方程组，解之得$AE = 1,DE = \sqrt{2}$或$AE = \sqrt{2},DE = 1$,所以$\frac{AE}{DE} = \frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{AE}{DE} = \sqrt{2}$。