《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

10. (2025春·莱西市期末)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2(m - 1)x + m^{2}-5 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ m $ 的取值范围;
(2) 若该方程有一根为 $ 2 $,求 $ m $ 的值.

答案： 10.
(1)
∵方程有两个不相等的实数根
∴$△=[-2(m-1)]^{2}-4(m^{2}-5)＞0，$
解得：m＜3；
(2)把x=2代入方程得：$4-4(m-1)+m^{2}-5=0，$
即$m^{2}-4m+3=0，$解得：m=3或m=1，
∵m＜3，
∴m的值为1.

11. 已知:$□ ABCD$ 的两边 $ AB,AD $ 的长是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-mx + m - 1 = 0 $ 的两个实数根.
(1) 当 $ m $ 为何值时,四边形 $ ABCD $ 是菱形,求出这时菱形的边长;
(2) 若 $ AB $ 的长为 $ 2 $,那么 $□ ABCD$ 的周长是多少?

答案： 11.
(1)m=2,边长为1
(2)6

12. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2}-\sqrt{2k + 1}x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,那么 $ k $ 的取值范围是 (D)

A.$ k ＜ \frac{1}{2} $
B.$ k ＜ \frac{1}{2} $ 且 $ k \neq 0 $
C.$ -\frac{1}{2} \leqslant k ＜ \frac{1}{2} $
D.$ -\frac{1}{2} \leqslant k ＜ \frac{1}{2} $ 且 $ k \neq 0 $

答案： 12.D

13. (2023·金溪县模拟)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0 $.
(1) 求证:方程有两个不相等的实数根;
(2) 若方程的两根分别是等腰 $\triangle ABC$ 两边 $ AB、AC $ 的长,其中 $ BC = 10 $,求 $ k $ 值.

答案： 13.
(1)证明：
∵$△=[-(2k+1)]^{2}-4(k^{2}+k)=1＞0，$
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)方程两根为$x_{1}=k,x_{2}=k+1.$
当等腰△ABC的腰长为10时，
∴k=10或k+1=10，
∴k=9，
解得:k=9或k=10.

14. (2024·福田区校级模拟)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(k + 1)x + 2k - 2 = 0 $.
(1) 求证:此方程总有两个实数根;
(2) 若此方程有一个根大于 $ 0 $ 且小于 $ 1 $,求 $ k $ 的取值范围.

答案： 14.
(1)证明：$△=b^{2}-4ac=k^{2}-6k+9=(k-3)^{2}，$
∵$(k-3)^{2}≥0，$即△≥0，
∴此方程总有两个实数根，
(2)解$:x=\frac{(k+1)±\sqrt{(k-3)^{2}}}{2}，$
解得$x_{1}=k-1,x_{2}=2，$
∵此方程有一个根大于0且小于1，
而$x_{2}＞1,$
∴0＜x_{1}＜1，
即0＜k-1＜1,
∴1＜k＜2.