《2025年时代新课程九年级数学上册苏科版》

11. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,且 $ AB = AC $,延长 CD 至点 E,使 $ CE = BD $,连接 AE.
(1) 求证:AD 平分 $ ∠BDE $;
(2) 若 $ AB // CD $,求证:AE 是⊙O 的切线.

答案： 11. 证明:
(1)
∵AB = AC,
∴∠ACB = ∠ABC.
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADE = ∠ABC.
∵∠ADB = ∠ACB,
∴∠ADE = ∠ADB，
∴AD 平分∠BDE.
(2) 作直径 AF,连接 BF，
∵AB//CD,
∴∠ADE = ∠DAB.
∵∠ADE = ∠ABC = ∠ACB,∠ADB = ∠ACB，
∴∠DAB = ∠ADB,
∴AB = BD.
∵AC = AB,CE = BD,
∴AB = CE，
∴四边形 ABCE 是平行四边形，
∴AE//BC,
∴∠EAC = ∠ACB = ∠ABC，
∴∠EAC + ∠CAF = ∠ABC + ∠CBF，
∴∠EAF = ∠ABF = 90°,
∴AE⊥AF，
∴AE 是⊙O 的切线.

12. (2023·大理市模拟)如图,以 $ Rt△ABC $ 的 AC 边为直径作⊙O 交斜边 AB 于 E,连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D,点 F 为 BC 的中点,连接 EF 和 AD.
(1) 求证:EF 是⊙O 的切线;
(2) 若⊙O 的半径为 2,$ ∠EAC = 60^{\circ} $,求 AD 的长.

答案：
12.
(1) 证明:连接 CE，如图所示：

∵AC 为⊙O 的直径,
∴∠AEC = 90°.
∴∠BEC = 90°.
∵点 F 为 BC 的中点，
∴EF = BF = CF.
∴∠FEC = ∠FCE.
∵OE = OC,
∴∠OEC = ∠OCE.
∵∠FCE + ∠OCE = ∠ACB = 90°，
∴∠FEC + ∠OEC = ∠OEF = 90°，
∴OE⊥EF，
∵OE 是⊙O 的半径，
∴EF 是⊙O 的切线.
(2) 解:
∵OA = OE,∠EAC = 60°，
∴△AOE 是等边三角形.
∴∠AOE = 60°.
∴∠COD = ∠AOE = 60°.
∵⊙O 的半径为 2，
∴OA = OC = 2
在 Rt△OCD 中,
∵∠OCD = 90°,∠COD = 60°，
∴∠ODC = 30°,
∴OD = 2OC = 4，
∴CD = 2$\sqrt{3}$.
在 Rt△ACD 中,
∵∠ACD = 90°,AC = 4,CD = 2$\sqrt{3}$.
∴AD = $\sqrt{AC² + CD²}$ = 2$\sqrt{7}$.