《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

10. 已知等腰三角形$ABC$的底边长为 5，其腰长恰好是一元二次方程$x^{2}-2(m + 1)x + 6m - 2 = 0$的两个相等的实数根，则$m$的值是（D）
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3

答案： D

11. 用公式法解下列方程：
(1)$6x^{2}-11x + 4 = 2x - 2$；
(2)$3x(x - 3) = 2(x - 1)(x + 1)$.

答案：
(1)$ x _ { 1 } = \frac { 3 } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } $
(2)$ x _ { 1 } = \frac { 9 + \sqrt { 73 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 9 - \sqrt { 73 } } { 2 } $

12. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$.
(1)当$b = a + 2$时，判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的$a$，$b$的值，并求此时方程的根.

答案：
(1)方程有两个不等的实数根
(2)可取$ b = 2 $，$ a = 1 $，则原方程变为$ x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0 $，解得$ x _ { 1 } = x _ { 2 } = - 1 $(本题答案不唯一)

13. 核心素养 创新意识 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如$x^{2}+ax = b^{2}(a ＞ 0,b ＞ 0)$的方程的图解法是：如图 21-2-2，以$\frac{a}{2}$和$b$为两直角边长作$Rt\triangle ABC$，再在斜边上截取$BD = \frac{a}{2}$，则$AD$的长就是所求方程的根.
(1)请用含字母$a$，$b$的式子表示$AD$的长；
(2)请利用公式法说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处.

答案： 解：
(1)由题意可知$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ B C = \frac { a } { 2 } $，$ A C = b $，
$ \therefore A B = \sqrt { b ^ { 2 } + \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } $，
$ \therefore A D = A B - B D = \sqrt { b ^ { 2 } + \frac { a ^ { 2 } } { 4 } } - \frac { a } { 2 } = \frac { - a + \sqrt { 4 b ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } { 2 } $。
(2)用求根公式求得$ x _ { 1 } = \frac { - a + \sqrt { 4 b ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { - a - \sqrt { 4 b ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } { 2 } $，
$ \therefore A D $的长就是方程的正根。
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根。