《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

11. 在设计人体雕像时，多采用黄金分割比例增加视觉美感，即雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比.按此比例，如果雕像高 3 m，设雕像的下部高$x$ m，可列方程为$ x^{2} = 3(3 - x) $.

答案： $ x^{2} = 3(3 - x) $

12. （教材习题 21.1T7 变式）关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根是 1，$a$，$b$满足$b=\sqrt{a-2}+\sqrt{2-a}-1$，则方程$\frac{1}{4}y^{2}+c=0$的解为$ y = 2 $ 或 $ y = -2 $.

答案： $ y = 2 $ 或 $ y = -2 $

13. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
（1）[教材习题 21.1T2（2）变式]用一根长 30 cm 的铁丝折成一个斜边长为 13 cm 的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长；
（2）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”.如图 21-1-2 中的手卷长 1000 cm，宽 40 cm.引首和拖尾完全相同，其宽度都为 100 cm.设隔水的宽度为$x$ cm，若画心的面积为$15200cm^{2}$，则隔水的宽度为多少厘米？

答案： 解：
(1)设这个直角三角形其中一条直角边长为 $ x $ cm，则另一条直角边长为 $ 30 - 13 - x = (17 - x) $ cm.
根据题意，得 $ x^{2} + (17 - x)^{2} = 13^{2} $，
化为一般形式为 $ x^{2} - 17x + 60 = 0 $.
(2)若隔水的宽度为 $ x $ cm，则画心的长为 $ 1000 - 2×100 - 4x = (800 - 4x) $ cm，宽为 $ (40 - 2x) $ cm.
根据题意，得 $ (800 - 4x)(40 - 2x) = 15200 $，化为一般形式为 $ x^{2} - 220x + 2100 = 0 $.

14. 若$a$是方程$x^{2}-2024x+1=0$的一个根，求代数式$a^{2}-2025a+\frac{a^{2}+1}{2024}$的值.

答案： -1

15. 核心素养 抽象能力 如图 21-1-3，在数轴上，点$A$与点$C$表示的数分别为 1 和 3，明明同学以点$C$为直角顶点作$Rt\triangle ABC$，其中$BC=1$，再以点$A$为圆心，$AB$为半径画弧，交数轴于$D$，$E$两点.莲莲说：“若点$D$，$E$表示的数分别为$m$和$n$，我发现$m$是一元二次方程$x^{2}+bx-4=0$的一个根.”琮琮说：“$n$一定不是此方程的根.”
（1）写出$m$与$n$的值；$ m = 1 + \sqrt{5} $，$ n = 1 - \sqrt{5} $
（2）$b$的值为____；-2
（3）你认为琮琮说得对吗？为什么？琮琮说得不对. 理由如下：
把 $ x = 1 - \sqrt{5} $ 代入方程 $ x^{2} - 2x - 4 = 0 $，左边 $ = (1 - \sqrt{5})^{2} - 2(1 - \sqrt{5}) - 4 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 - 2 + 2\sqrt{5} - 4 = 0 $，右边 $ = 0 $，
左边 $ = $ 右边，
∴ $ n $ 一定是此方程的根.

答案：
(1)$ m = 1 + \sqrt{5} $，$ n = 1 - \sqrt{5} $
(2)-2
(3)琮琮说得不对. 理由如下：
把 $ x = 1 - \sqrt{5} $ 代入方程 $ x^{2} - 2x - 4 = 0 $，左边 $ = (1 - \sqrt{5})^{2} - 2(1 - \sqrt{5}) - 4 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 - 2 + 2\sqrt{5} - 4 = 0 $，右边 $ = 0 $，
左边 $ = $ 右边，
∴ $ n $ 一定是此方程的根.