《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

1. 已知二次函数的图象经过$(0,0),(3,0),(1,-4)$三点,则该函数的解析式为 （C）
A. $y=x^{2}-3x$
B. $y=2x^{2}-3x$
C. $y=2x^{2}-6x$
D. $y=x^{2}-6x$

答案： C

2. 已知二次函数的图象如图22-1-36所示,则这个二次函数的解析式为 （B）

A. $y=x^{2}-2x+3$
B. $y=x^{2}-2x-3$
C. $y=x^{2}+2x-3$
D. $y=x^{2}+2x+3$

答案： B

3. 与抛物线$y=2x^{2}-4x$的形状相同,开口方向不同,且顶点坐标为$(1,3)$的抛物线的解析式是$ y = - 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 3 $.

答案： $ y = - 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 3 $

4. 已知二次函数的图象经过点$(4,-3)$,并且当$x=3$时,函数有最大值4,则这个二次函数的解析式为$ y = - 7 ( x - 3 ) ^ { 2 } + 4 $.

答案： $ y = - 7 ( x - 3 ) ^ { 2 } + 4 $

5. 已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$中的$x$和$y$满足下表:
| $x$ | $\cdots$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | $-5$ | $0$ | $3$ | $4$ | $3$ | $m$ | $-5$ | $\cdots$ |
(1)根据表格,直接写出该二次函数图象的对称轴以及$m$的值;
(2)求该二次函数的解析式.

答案： $(1)$求对称轴和$m$的值
- 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，其图象的对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，且在对称轴两侧$y$值相等的点关于对称轴对称。
观察表格可知，当$x=-2$和$x = 0$时，$y$值都为$3$，所以对称轴为$x=\frac{-2 + 0}{2}=-1$。
因为$x = 1$与$x=-3$关于对称轴$x=-1$对称，所以当$x = 1$时的$y$值$m$与$x=-3$时的$y$值相等，即$m = 0$。
$(2)$求二次函数的解析式
解：设二次函数的解析式为$y=a(x + 1)^{2}+k$（顶点式，因为对称轴$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$，所以$h=-1$，$k = 4$）。
把$(0,3)$代入$y=a(x + 1)^{2}+4$得：
$3=a(0 + 1)^{2}+4$，
即$3=a+4$，
移项可得$a=3 - 4=-1$。
所以二次函数的解析式为$y=-(x + 1)^{2}+4$，展开$y=-(x^{2}+2x + 1)+4$，即$y=-x^{2}-2x + 3$。
综上，$(1)$对称轴为$x = -1$，$m = 0$；$(2)$二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^{2}-2x + 3}$。

6. 已知抛物线与$x$轴的交点是$A(-3,0),B(1,0)$,且经过点$C(0,-3)$.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设该抛物线的顶点为$M$,求$\triangle ABM$的面积.

答案： $(1)$求抛物线的解析式
解：
已知抛物线与$x$轴的交点是$A(-3,0)$，$B(1,0)$，可设抛物线的解析式为$y = a(x + 3)(x - 1)$（交点式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其中$x_1=-3$，$x_2 = 1$）。
因为抛物线经过点$C(0,-3)$，把$C(0,-3)$代入$y = a(x + 3)(x - 1)$中，得到：
$-3=a(0 + 3)(0 - 1)$
即$-3=-3a$，
解得$a = 1$。
所以抛物线的解析式为$y=(x + 3)(x - 1)=x^{2}+2x - 3$。
$(2)$求$\triangle ABM$的面积
解：
对于抛物线$y=x^{2}+2x - 3$，将其化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式。
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$y=x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，所以顶点$M$的坐标为$(-1,-4)$。
已知$A(-3,0)$，$B(1,0)$，则$AB$的长度为$\vert1-(-3)\vert = 4$。
点$M$到$x$轴的距离（即$\triangle ABM$中$AB$边上的高）为$\vert-4\vert = 4$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得${S}_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}× AB×\vert{y}_{M}\vert$。
把$AB = 4$，$\vert{y}_{M}\vert = 4$代入可得：${S}_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}×4×4 = 8$。
综上，$(1)$抛物线解析式为$\boldsymbol{y=x^{2}+2x - 3}$；$(2)$$\triangle ABM$的面积为$\boldsymbol{8}$。

7. 二次函数的图象经过$A(4,0),B(-2,0),C(2,4)$三点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当$0\leqslant x\leqslant 5$时,直接写出$y$的取值范围.

答案： $(1)$求二次函数解析式
解：设二次函数的解析式为$y = a(x - x_1)(x - x_2)$（交点式，其中$x_1$，$x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标）。
已知二次函数图象经过$A(4,0)$，$B(-2,0)$，则$x_1 = 4$，$x_2 = - 2$，所以$y=a(x - 4)(x + 2)$。
又因为函数图象经过$C(2,4)$，把$x = 2$，$y = 4$代入$y=a(x - 4)(x + 2)$中得：
$4=a(2 - 4)(2 + 2)$，即$4=a×(-2)×4$，
$4=-8a$，
解得$a =-\frac{1}{2}$。
所以二次函数的解析式为$y =-\frac{1}{2}(x - 4)(x + 2)$，展开表达式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{2}(x^2+2x - 4x - 8)\\&=-\frac{1}{2}(x^2 - 2x - 8)\\&=-\frac{1}{2}x^2+x + 4\end{aligned}$
$(2)$求$y$的取值范围
对于二次函数$y =-\frac{1}{2}x^2+x + 4$，其对称轴为$x =-\frac{b}{2a}$（其中$a =-\frac{1}{2}$，$b = 1$），则对称轴$x =-\frac{1}{2×(-\frac{1}{2})}=1$。
当$x = 1$时，$y=-\frac{1}{2}×1^2 + 1 + 4=-\frac{1}{2}+5=\frac{9}{2}$；
当$x = 0$时，$y=-\frac{1}{2}×0^2+0 + 4 = 4$；
当$x = 5$时，$y=-\frac{1}{2}×5^2+5 + 4=-\frac{25}{2}+9=-\frac{7}{2}$。
因为二次函数$a =-\frac{1}{2}\lt0$，图象开口向下，所以当$0\leqslant x\leqslant 5$时，$y$的取值范围是$-\frac{7}{2}\leqslant y\leqslant\frac{9}{2}$。
综上，答案为$(1)y =-\frac{1}{2}x^2+x + 4$；$(2)-\frac{7}{2}\leqslant y\leqslant\frac{9}{2}$。