《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

3. 如图4-ZT-5,已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求该二次函数的解析式.
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)点Q在线段OB上(不与点O,B重合),过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M,交线段BC于点N,求线段MN的最大值及此时点M的坐标.

答案：
(1) $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 $
(2) 存在 点 $ P $ 的坐标为 $ ( 1, - 2 ) $
(3) $ M N $ 的最大值为 $ \frac { 9 } { 4 } $，点 $ M $ 的坐标为 $ \left( \frac { 3 } { 2 }, - \frac { 15 } { 4 } \right) $

4. 如图4-ZT-7,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx-3交x轴于点A(-1,0),B(3,0),过点B的直线y=2/3x-2交抛物线于点C.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)若P是直线BC下方抛物线上的一个动点(点P不与点B,C重合),求△PBC面积的最大值.

答案： 解：
(1) 将 $ A ( - 1, 0 ) $，$ B ( 3, 0 ) $ 代入 $ y = a x ^ { 2 } + b x - 3 $，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a - b - 3 = 0, } \\ { 9 a + 3 b - 3 = 0, } \end{array} \right. $
解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = 1, } \\ { b = - 2, } \end{array} \right. $
∴ 该抛物线的函数解析式为 $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 $．
(2) 过点 $ P $ 作 $ P D // y $ 轴，交 $ x $ 轴于点 $ D $，交 $ B C $ 于点 $ E $，过点 $ C $ 作 $ C F \perp P D $ 于点 $ F $，连接 $ P B $，$ P C $．
设点 $ P $ 的坐标为 $ ( m, m ^ { 2 } - 2 m - 3 ) $，则点 $ E $ 的坐标为 $ \left( m, \frac { 2 } { 3 } m - 2 \right) $，
∴ $ P E = \frac { 2 } { 3 } m - 2 - ( m ^ { 2 } - 2 m - 3 ) = - m ^ { 2 } + \frac { 8 } { 3 } m + 1 $．
联立方程组 $ \left\{ \begin{array} { l } { y = x ^ { 2 } - 2 x - 3, } \\ { y = \frac { 2 } { 3 } x - 2, } \end{array} \right. $
解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } = 3, } \\ { y _ { 1 } = 0, } \end{array} \right. $ $ \left\{ \begin{array} { l } { x _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 }, } \\ { y _ { 2 } = - \frac { 20 } { 9 }. } \end{array} \right. $
∵ 点 $ B $ 的坐标为 $ ( 3, 0 ) $，
∴ 点 $ C $ 的坐标为 $ \left( - \frac { 1 } { 3 }, - \frac { 20 } { 9 } \right) $，
∴ $ B D + C F = 3 + \left| - \frac { 1 } { 3 } \right| = \frac { 10 } { 3 } $，
∴ $ S _ { \triangle P B C } = S _ { \triangle P E B } + S _ { \triangle P E C } $
$ = \frac { 1 } { 2 } P E \cdot B D + \frac { 1 } { 2 } P E \cdot C F $
$ = \frac { 1 } { 2 } P E \cdot ( B D + C F ) $
$ = \frac { 1 } { 2 } \left( - m ^ { 2 } + \frac { 8 } { 3 } m + 1 \right) \cdot \frac { 10 } { 3 } $
$ = - \frac { 5 } { 3 } \left( m - \frac { 4 } { 3 } \right) ^ { 2 } + \frac { 125 } { 27 } $（其中 $ - \frac { 1 } { 3 } ＜ m ＜ 3 $）．
∵ $ - \frac { 5 } { 3 } ＜ 0 $，
∴ 当 $ m = \frac { 4 } { 3 } $ 时，$ S _ { \triangle P B C } $ 取得最大值，最大值为 $ \frac { 125 } { 27 } $．