《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

1.$△ABC$与$△CDE$都是等边三角形,连接AD,BE.
(1)如图7-ZT-2①,当点B,C,D在同一条直线上时,$∠BCE=$120°;
(2)将图①中的$△CDE$绕着点C逆时针旋转到如图②的位置,求证:$BE=AD.$

证明:∵△ABC与△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,
即∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中,
$\left\{ \begin{array} { l } { BC = AC, } \\ { \angle BCE = \angle ACD, } \\ { CE = CD, } \end{array} \right.$
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴BE=AD.

答案： 解:
(1)120
(2)证明:
∵△ABC与△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,
即∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中,
$\left\{ \begin{array} { l } { B C = A C, } \\ { \angle B C E = \angle A C D, } \\ { C E = C D, } \end{array} \right.$
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴BE=AD.

2.如图7-ZT-3①,C为线段AB上一点,分别以AC,BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG,连接AF,BD.
(1)AF与BD的数量关系是____,位置关系是____;
(2)将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转角$α(0^{\circ }＜α＜360^{\circ })$,如图②,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

答案：
解:
(1)AF=BD AF⊥BD
(2)
(1)中的结论仍然成立.理由如下:
设AF与CD,BD分别相交于点M,H,如图所示.

∵四边形ACDE和四边形BCFG都是正方形,
∴AC=DC,CF=CB,∠ACD=∠FCB=90°,
∴∠ACD+∠DCF=∠FCB+∠DCF,
即∠ACF=∠DCB.
在△ACF和△DCB中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A C = D C, } \\ { \angle A C F = \angle D C B, } \\ { C F = C B, } \end{array} \right.$
∴△ACF≌△DCB(SAS),
∴AF=BD,∠CAF=∠CDB.
又
∵∠DMH=∠AMC,
∴∠DHM=∠ACD=90°,
∴AF⊥BD.