《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

10. 若小明将如图22-1-21所示的两条水平线$AB$，$CD$中的一条当成$x$轴，且向右为正方向；两条铅垂线$AC$，$BD$中的一条当成$y$轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数$y = 2(x - 1)^2$的图象，则坐标原点是（C）
A. 点$A$
B. 点$B$
C. 点$C$
D. 点$D$

答案： C

11. 已知二次函数$y = -(x + h)^2$，当$x ＜ -3$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x ＞ -3$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x = 0$时，$y$的值为（B）
A. -1
B. -9
C. 1
D. 9

答案： B

12. 若点$P(m, n)$在抛物线$y = ax^2$上，则下列各点在抛物线$y = a(x + 1)^2$上的是（D）
A. $(m, n + 1)$
B. $(m + 1, n)$
C. $(m, n - 1)$
D. $(m - 1, n)$

答案： D

13. 已知二次函数$y = a(x + m)^2$的图象的顶点坐标为$(-1, 0)$，且过点$A(-2, -\frac{1}{2})$。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点$B(2, -2)$在这个函数的图象上吗？为什么？若不在，你能通过左右平移函数图象，使它过点$B(2, -2)$吗？若能，请写出平移方案。

答案：
(1)y=−$\frac{1}{2}$(x+1)²
(2)不在.理由:把x=2代入y=−$\frac{1}{2}$(x+1)²,得y=−$\frac{1}{2}$×(2+1)²=−$\frac{9}{2}$≠−2,
∴点B(2，−2)不在这个函数的图象上.
　　能通过左右平移函数图象，使它过点
B(2,−2).
　　设平移后所得图象的函数解析式为y=
　　−$\frac{1}{2}$(x+1+n)².
　　把B(2,−2)代入,得−2=−$\frac{1}{2}$(2+1+n)²,解得n1=−1,n2=−5,
　
∴将二次函数y=−$\frac{1}{2}$(x+1)²的图象向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度可过点B(2,−2).

14. 如图22-1-22，将抛物线$y = x^2$向右平移$a$个单位长度后，所得抛物线的顶点为$A$，与$y$轴交于点$B$，且$\triangle AOB$为等腰直角三角形。
（1）求$a$的值。
（2）在抛物线上是否存在点$C$，使$\triangle ABC$为等腰直角三角形？若存在，直接写出点$C$的坐标，并求出$S_{\triangle ABC}$；若不存在，请说明理由。

答案：
解$: (1)$由题意$, $得$A(a, 0), $平移后的抛物线的解析式为$y = (x - a)^2,$　　
∴$OA = a.$　　
在$y = (x - a)^2$中$, $令$x = 0, $则$y = a^2,$　　
∴$B(0, a^2), $
∴$OB = a^2.$　　
∵$△AOB$为等腰直角三角形$,$　　
∴$OA = OB, $
∴$a = a^2,$　　
解得$a1 = 1, a2 = 0($不合题意$, $舍去$).$　　
故$a$的值为$1.$　　
$(2)$作点$B$关于抛物线对称轴的对称点$C，$连接$BC,AC,$交抛物线的对称轴于点$D,$如图所示　　
　　　　
∵$△AOB$为等腰直角三角形$,$　　
∴$△ABD$为等腰直角三角形$,$　　
∴$∠BAD = 45°.$　　
∵$AD$为抛物线的对称轴$,$　　
∴$AB = AC, ∠CAD = ∠BAD = 45°,$　　
∴$∠BAC = 90°,$　　
∴$△ABC$为等腰直角三角形$.$　　
∵$B(0, 1), $抛物线的对称轴为直线$x = 1,$　　
∴点$C$的坐标为$(2, 1),$　　
∴$BC = 2,$　　
∴$S△ABC = \frac{1}{2}BC·AD = \frac{1}{2}×2×1 = 1.$　　
故在抛物线上存在点$C，$使$△ABC$为等腰直角三角形$, $点$C$的坐标为$(2, 1), S△ABC = 1.$