《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

3. 如图5-ZT-4，抛物线$y=ax^{2}+2x+c$的对称轴是直线$x=1$，与x轴交于点A，$B(3,0)$，与y轴交于点C，连接AC。
(1)求此抛物线的解析式。
(2)已知D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作$DM⊥x$轴，垂足为M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
(1)$y=-x^{2}+2x+3$
(2)存在 点 N 的坐标为$(2,1)$或$(\sqrt {5},3-\sqrt {5})$或$(\frac {5}{2},\frac {1}{2})$

4. (2024泰安)如图5-ZT-5，抛物线$C_{1}:y=ax^{2}+\frac {4}{3}x-4$经过点$D(1,-1)$，与x轴交于点A，B。
(1)求抛物线$C_{1}$的解析式。
(2)将抛物线$C_{1}$向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线$C_{2}$，求抛物线$C_{2}$的解析式，并判断点D是否在抛物线$C_{2}$上。
(3)在x轴上方的抛物线$C_{2}$上，是否存在点P，使$△PBD$是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：
(1)$y=\frac {5}{3}x^{2}+\frac {4}{3}x-4$
(2)抛物线$C_{2}$的解析式为$y=\frac {5}{3}(x-\frac {3}{5})^{2}-\frac {19}{15}$点 D 在抛物线$C_{2}$上
(3)存在 点 P 的坐标为$(2,2)$或$(-1,3)$