《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

2. (2024 赤峰)如图 ZH - 22 - 1①是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.如图②是该小组绘制的水滑道截面图,人从点 A 处沿水滑道下滑至点 B 处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为 x 轴,过腾空点 B 与 x 轴垂直的直线为 y 轴,O 为坐标原点,建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息,设计了以下三个问题,请你解决.
(1)如图②,点 B 与地面的距离为 2 米,水滑道最低点 C 与地面的距离为$\frac {7}{8}$米,点 C 到点 B 的水平距离为 3 米,则水滑道 ACB 所在抛物线的解析式为____.
(2)如图②,腾空点 B 与对面水池边缘的水平距离$OE = 12$米,人腾空后的落点 D 与水池边缘的安全距离 DE 不少于 3 米.若某人腾空后经过的路径形成的抛物线 BD 恰好与抛物线 ACB 关于点 B 成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线 BD 的解析式;
②此人腾空飞出后的落点 D 是否在安全范围内? 请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计).
(3)为消除安全隐患,公园计划对水滑道进行加固.如图③,水滑道已经有两条加固钢架,一条是水滑道距地面 4 米的点 M 处竖直支撑的钢架 MN,另一条是点 M 与点 B 之间连接支撑的钢架 BM.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架,为了美观,要求这条钢架与 BM 平行,且与水滑道有唯一公共点,一端固定在钢架 MN 上,另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号).

答案：
解：
(1)$y=\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+2$
(2)①
∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称.又$C(-3,\frac{7}{8})$，$B(0,2)$，
∴抛物线BD的顶点坐标为$(3,\frac{25}{8})$，
∴此人腾空后的最大高度为$\frac{25}{8}$米.设抛物线BD的解析式为$y=a'(x-3)^{2}+\frac{25}{8}$.将$B(0,2)$代入，得$a'\cdot(0-3)^{2}+\frac{25}{8}=2$，解得$a'=-\frac{1}{8}$，
∴抛物线BD的解析式为$y=-\frac{1}{8}(x-3)^{2}+\frac{25}{8}=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+2$.②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内.理由：由①得抛物线BD的解析式为$y=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+2$.令$y=0$，得$0=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+2$，解得$x_{1}=8$，$x_{2}=-2$（不合题意，舍去），
∴$OD=8$米.又$OE=12$米，
∴$DE=12 - 8 = 4$（米）$＞3$米，
∴此人腾空飞出后的落点D在安全范围内.
(3)如图，EF即为所求钢架. 由
(1)知水滑道ACB所在抛物线的解析式为$y=\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+2$.令$y=4$，得$4=\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+2$，解得$x_{1}=-8$，$x_{2}=2$（不合题意，舍去），
∴$M(-8,4)$.又$B(0,2)$，
∴直线BM的解析式为$y=-\frac{1}{4}x+2$.
∵$EF// BM$，
∴可设直线EF的解析式为$y=-\frac{1}{4}x+m$.令$\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+2=-\frac{1}{4}x+m$，则$x^{2}+8x - 8m + 16 = 0$.
∵EF与水滑道ACB有唯一公共点，
∴$\Delta = 64 - 4(-8m + 16) = 0$，解得$m = 0$，
∴直线EF的解析式为$y=-\frac{1}{4}x$，
∴直线EF过原点，即点F与点O重合.在$y=-\frac{1}{4}x$中，令$x=-8$，则$y=-\frac{1}{4}×(-8)=2$，
∴$EN=2$米.又$\angle ENO = 90^{\circ}$，
∴$EF=\sqrt{2^{2}+8^{2}}=2\sqrt{17}$（米）.答：这条钢架的长度为$2\sqrt{17}$米.