《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

1. 便民商店经营一种商品,在销售过程中发现,一周的利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的关系满足$y=-2x^{2}+80x+758$,由于某种原因,x需满足$15≤x≤19$,那么该商店一周可获得的最大利润是 (C)
A. 758元
B. 1508元
C. 1556元
D. 1558元

答案： C

2. 某种商品每件的进价为20元,经调查表明:在某段时间内,若以每件x元$(20≤x≤30$,且x为整数)的价格出售,可卖出$(30-x)$件.要使利润最大,每件的售价应为 (B)
A. 24元
B. 25元
C. 28元
D. 30元

答案： B

3. 某农户销售一种商品,成本价为每千克40元,按规定,该商品每千克的售价不低于成本价,且不高于60元.经调查,每天的销售量y(千克)与每千克的售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
|每千克的售价x(元)|40|50|60|
|----|----|----|----|
|每天的销售量y(千克)|120|100|80|
设销售该商品每天获得的利润为W(元),则W的最大值为 (B)
A. 1800
B. 1600
C. 1400
D. 1200

答案： B

4. 我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查发现,每天的销售量y(件)与销售单价x(元)存在一次函数关系:$y=-10x+800$.当地物价部门规定,该工艺品的销售单价最高不能超过40元,则当销售单价定为40元时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大,为8000元.(利润=销售总价一成本总价)

答案： 40 8000

5. (2024遂宁)某酒店有A,B两种客房,其中A种24间,B种20间.若全部入住,一天营业额为7200元;若A,B两种客房均有10间入住,一天营业额为3200元.
(1)求A,B两种客房每间的定价分别是多少元.
(2)酒店对A种客房调研发现:如果客房不调价,房间可全部住满;如果每间房间的定价每增加10元,就会有一间房间空闲;当A种客房每间的定价为多少元时,A种客房一天的营业额W(单位:元)最大,最大营业额为多少元?

答案： $(1)$ 求$A$，$B$两种客房每间的定价
解：设$A$种客房每间定价为$x$元，$B$种客房每间定价为$y$元。
根据“$A$种$24$间，$B$种$20$间，全部入住一天营业额为$7200$元”可列方程$24x + 20y = 7200$；
根据“$A$，$B$两种客房均有$10$间入住，一天营业额为$3200$元”可列方程$10x + 10y = 3200$。
将$10x + 10y = 3200$两边同时除以$10$得$x + y = 320$，则$y = 320 - x$。
把$y = 320 - x$代入$24x + 20y = 7200$中，得到：
$24x + 20(320 - x) = 7200$
$24x + 6400 - 20x = 7200$
$24x - 20x = 7200 - 6400$
$4x = 800$
$x = 200$。
把$x = 200$代入$y = 320 - x$，得$y = 320 - 200 = 120$。
所以$A$种客房每间定价$200$元，$B$种客房每间定价$120$元。
$(2)$ 求$A$种客房营业额$W$的最大值
解：设$A$种客房每间定价增加$10a$元，则空闲的房间数为$a$间，$A$种客房定价为$(200 + 10a)$元，入住的房间数为$(24 - a)$间。
根据“营业额$=$定价$×$入住房间数”，可得$W=(200 + 10a)(24 - a)$。
展开式子：
$\begin{aligned}W&=(200 + 10a)(24 - a)\\&=200×24-200a+10a×24 - 10a^{2}\\&=4800-200a + 240a - 10a^{2}\\&=- 10a^{2}+40a + 4800\\&=-10(a^{2}-4a)+4800\\&=-10(a^{2}-4a + 4 - 4)+4800\\&=-10((a - 2)^{2}-4)+4800\\&=-10(a - 2)^{2}+40 + 4800\\&=-10(a - 2)^{2}+4840\end{aligned}$
因为$-10\lt0$，所以当$a = 2$时，$W$有最大值。
此时$A$种客房每间定价为$200 + 10×2=220$（元），最大营业额$W = 4840$元。

6. 某厂家生产一批遮阳伞,每个遮阳伞的成本价是20元,试销售时发现:遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间是一次函数关系,当销售单价为28元时,每天的销售量为260个;当销售单价为30元时,每天的销售量为240个.
(1)求遮阳伞每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数解析式;
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w(元),当销售单价定为多少元时,才能使每天的销售利润最大?最大利润是多少元?

答案： $(1)$求销售量$y$与销售单价$x$之间的函数解析式
解：设$y = kx + b$（$k\neq0$）。
已知当$x = 28$时，$y = 260$；当$x = 30$时，$y = 240$。
将其代入$y = kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}28k + b = 260\\30k + b = 240\end{cases}$。
用第一个方程减去第二个方程消去$b$：
$(28k + b)-(30k + b)=260 - 240$，
$28k + b - 30k - b = 20$，
$-2k = 20$，
解得$k=-10$。
把$k = - 10$代入$28k + b = 260$，得$28×(-10)+b = 260$，
$-280 + b = 260$，
解得$b = 540$。
所以$y$与$x$之间的函数解析式为$y=-10x + 540$。
$(2)$求销售利润最大时的销售单价和最大利润
解：已知每个遮阳伞成本价是$20$元，根据“利润$=$（销售单价$-$成本单价）$×$销售量”，可得$w=(x - 20)y$。
把$y=-10x + 540$代入$w=(x - 20)y$中，得到$w=(x - 20)(-10x + 540)$。
展开式子：
$w=-10x^{2}+540x + 200x - 10800$，
$w=-10x^{2}+740x - 10800$。
对于二次函数$w = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），这里$a=-10$，$b = 740$，$c=-10800$。
根据二次函数顶点公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x =-\frac{740}{2×(-10)} = 37$。
把$x = 37$代入$w=-10x^{2}+740x - 10800$中：
$w=-10×37^{2}+740×37 - 10800$
$=-10×1369+27380 - 10800$
$=-13690+27380 - 10800$
$=2890$（元）。
因为$a=-10\lt0$，二次函数图象开口向下，所以当$x = 37$时，$w$有最大值$2890$。
综上，$(1)$函数解析式为$\boldsymbol{y=-10x + 540}$；$(2)$当销售单价定为$\boldsymbol{37}$元时，每天销售利润最大，最大利润是$\boldsymbol{2890}$元。