《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

14. (2024内江)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$(p为常数)有两个不等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$.
(1)$x_{1}+x_{2}=$p,$x_{1}x_{2}=$1;
(2)求$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}},x_{1}+\frac {1}{x_{1}}$的值;
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = p$，$x_1 + \frac{1}{x_1} = p$
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,求p的值.
$p = 3$

答案：
(1) $p$ 1
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = p$ $x_1 + \frac{1}{x_1} = p$
(3) $p = 3$

15. 定义:设m,n是关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个实数根,若满足$|m+n|=|mn|$,则称此类方程为“同步方程”.例如,方程$x^{2}-4x+4=0$是“同步方程”.
(1)下列方程是“同步方程”的是①②(填序号).
①$x^{2}=0$;②$x^{2}-x-1=0$;③$x(x-3)=0$.
(2)若关于x的方程$x^{2}-(a+3)x+3a=0$是“同步方程”,求a的值.
$\frac{3}{2}$ 或 $-\frac{3}{4}$
(3)若关于x的方程$2x^{2}+bx+3c=0$为“同步方程”,直接写出b,c满足的数量关系.
$b = \pm 3c$

答案：
(1) ①②
(2) $\frac{3}{2}$ 或 $-\frac{3}{4}$
(3) $b = \pm 3c$

16. 已知矩形ABCD的两条边AB和BC的长恰好是关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+4k-3=0$的两根.
(1)求证:无论k取何值,方程总有两个不等的实数根.
(2)若矩形ABCD的对角线长$AC=\sqrt {31}$,求矩形ABCD的周长和面积.
(3)①在(2)的条件下,数学兴趣小组探究:是否存在另一个矩形EFGH,使它的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的一半?如果存在,请求出该矩形的长和宽;如果不存在,请说明理由.
②拓展探究:如果有一个矩形的长为a,宽为b,那么a,b应满足什么条件,才一定存在另一个矩形的周长和面积都是该矩形的一半?请直接写出应满足的条件.

答案： 解：
(1) 证明：$\because \Delta = [-(2k + 1)]^2 - 4 × 1 × (4k - 3)$
$= 4k^2 - 12k + 13$
$= 4(k - \frac{3}{2})^2 + 4 ＞ 0$，
$\therefore$ 无论 $k$ 取何值，方程总有两个不等的实数根.
(2) $\because AB$ 和 $BC$ 的长是方程的两根，
$\therefore$ 设 $AB = x_1$，$BC = x_2$，
则 $x_1 + x_2 = 2k + 1$，$x_1x_2 = 4k - 3$.
$\because$ 矩形 $ABCD$ 的对角线长 $AC = \sqrt{31}$，
$\therefore AB^2 + BC^2 = AC^2$，
即 $x_1^2 + x_2^2 = 31$，
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 31$，
$\therefore (2k + 1)^2 - 2(4k - 3) = 31$，
整理得 $k^2 - k - 6 = 0$，
解得 $k_1 = 3$，$k_2 = -2$.
$\because AB + BC ＞ 0$，$\therefore 2k + 1 ＞ 0$，
$\therefore k ＞ -\frac{1}{2}$，$\therefore k = 3$，
$\therefore AB + BC = 7$，$AB \cdot BC = 9$，
$\therefore$ 矩形 $ABCD$ 的周长为 $2(AB + BC) = 2 × 7 = 14$，面积为 $AB \cdot BC = 9$.
(3) ① 不存在. 理由如下：由
(2) 知矩形 $ABCD$ 的周长为 14，面积为 9，则矩形 $EFGH$ 的周长为 7，面积为 $\frac{9}{2}$.
设矩形 $EFGH$ 的长为 $n$，则宽为 $\frac{7}{2} - n$.
由题意，得 $n(\frac{7}{2} - n) = \frac{9}{2}$，
整理得 $2n^2 - 7n + 9 = 0$.
$\because \Delta = 49 - 72 = -23 ＜ 0$，$\therefore$ 原方程无实数根，
$\therefore$ 不存在另一个矩形 $EFGH$，使它的周长和面积分别是矩形 $ABCD$ 的周长和面积的一半.
② $a$，$b$ 应满足的条件为 $a^2 - 6ab + b^2 \geq 0$.