《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

6. 如图22-3-10①，AO，BC是两根垂直于地面的立柱，且长度相等.在两根立柱之间悬挂着一根绳子，建立坐标系，绳子形如抛物线$y=\frac {1}{10}x^{2}-x+4$.因实际需要，在OA与BC间用一根高为2.5m的立柱MN将绳子撑起（如图②），若立柱MN到OA的水平距离为3m，MN左侧抛物线的最低点D与MN的水平距离为1m，则点D到地面的距离为______2m.

答案： 2

7. 已知一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边组成，隧道的最大高度为4.9米，$AB=10$米，$BC=2.4$米，现把隧道横断面放在如图22-3-11所示的平面直角坐标系中，有一辆高为4米，宽为2米的装有集装箱的汽车要通过该隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧至少离开隧道石壁多少米才不至于碰到隧道顶部？

答案：

解:由题意,知AB=10米,BC=2.4米,

∴C(10,0),B(10,-2.4),A(0,-2.4).

由题意,知抛物线的顶点坐标为(5,2.5).

设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+2.5.

将(10,0)代入解析式,

得0=a(10-5)2+2.5,

解得a=-$\frac {1}{10}$,

∴y=-$\frac {1}{10}$(x-5)2+2.5=-$\frac {1}{10}x^2$+x.

此公路为双向公路,当汽车高为4米时,在抛物线隧道中对应的纵坐标y=4-2.4=1.6,

由1.6=-$\frac {1}{10}x^2$+x,

解得$x_1=2,x_2=8$.

故汽车要通过隧道,其右侧至少要离开隧道石壁2米才不至于碰到隧道顶部.

8. （2024武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图22-3-12，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线$y=ax^{2}+x$和直线$y=-\frac {1}{2}x+b$.其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级.
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离.
（2）直接写出当a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.

答案： （1）①
已知抛物线$y = ax^{2}+x$过点$(9,3.6)$，将$x = 9$，$y = 3.6$代入$y=ax^{2}+x$得：
$3.6=a×9^{2}+9$，即$81a+9 = 3.6$，移项可得$81a=3.6 - 9=-5.4$，解得$a=-\frac{1}{15}$。
又因为直线$y =-\frac{1}{2}x + b$过点$(9,3.6)$，将$x = 9$，$y = 3.6$代入$y =-\frac{1}{2}x + b$得：
$3.6=-\frac{1}{2}×9 + b$，即$3.6=-4.5 + b$，解得$b = 8.1$。
 ②求抛物线顶点纵坐标：

由①知抛物线解析式为$y = -\frac{1}{15}x^{2} + x$，对于抛物线$y = Ax^{2} + Bx + C$（这里$A = -\frac{1}{15}$，$B = 1$，$C = 0$），其顶点纵坐标公式为$y=\frac{4AC - B^{2}}{4A}$。

则顶点纵坐标为$\frac{4×(-\frac{1}{15})×0 - 1^{2}}{4×(-\frac{1}{15})}=\frac{-1}{-\frac{4}{15}} = 3.75$。

求抛物线中满足条件的横坐标：

因为有两个位置的高度比最高点低$1.35km$，所以该高度为$3.75 - 1.35 = 2.4km$。

可得方程$-\frac{1}{15}x^{2} + x = 2.4$，等式两边同时乘以$15$化为整式方程得$-x^{2} + 15x = 36$，移项得$x^{2} - 15x + 36 = 0$。

对于一元二次方程$x^{2} - 15x + 36 = 0$，其中$a = 1$，$b = -15$，$c = 36$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得

$x=\frac{15\pm\sqrt{(-15)^{2}-4×1×36}}{2×1}=\frac{15\pm\sqrt{225 - 144}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{15\pm9}{2}$，解得$x_{1} = 3$或$x_{2} = 12$。

因为当火箭运行的水平距离为$9km$时引发第二级，$12＞9$，此时第二级已引发，应舍去$x_{2} = 12$。

求直线中满足条件的横坐标：

将$y = 2.4$代入直线$y = -\frac{1}{2}x + 8.1$中，可得$2.4 = -\frac{1}{2}x + 8.1$，移项可得$\frac{1}{2}x = 8.1 - 2.4 = 5.7$，解得$x = 11.4$。

求两个位置之间的距离：

两个位置之间的距离为$11.4 - 3 = 8.4(km)$。

（2）$-\frac{2}{27}＜a＜0$。