《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

11. 如图 24-1-33,在$\odot O$中,半径$OA⊥OB$,C,D 为$\widehat {AB}$的三等分点,弦 AB 分别交 OC,OD 于点 E,F.
(1)求$∠AEO$的度数;
(2)求证:$AE=BF=CD.$

答案：
解：
(1) $\because$ 在 $⊙O$ 中，半径 $OA⊥OB$，$C$，$D$ 为 $\overparen{AB}$ 的三等分点，
$\therefore \angle AOC=\frac{1}{3} \angle AOB=\frac{1}{3} × 90^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because OA = OB$，$\therefore \angle OAB=\angle OBA = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle AEO=180^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ}=105^{\circ}$。
(2)证明：如图，连接 $AC$，$BD$。

$\because C$，$D$ 为 $\overparen{AB}$ 的三等分点，
$\therefore AC = CD = BD$，$\angle AOC=\angle DOC = 30^{\circ}$。
在 $\triangle ACO$ 与 $\triangle DCO$ 中，
$\begin{cases}OA = OD, \\ \angle AOC=\angle DOC, \\ OC = OC,\end{cases}$
$\therefore \triangle ACO \cong \triangle DCO(SAS)$，
$\therefore \angle ACO=\angle DCO$。
$\because \angle OEF=\angle OAE+\angle AOE = 45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$，$\angle OCD=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$，
$\therefore \angle OEF=\angle OCD$，
$\therefore CD // AB$，
$\therefore \angle AEC=\angle DCO$，
$\therefore \angle ACO=\angle AEC$，
$\therefore AC = AE$。同理，$BF = BD$。
又 $\because AC = CD = BD$，
$\therefore AE = BF = CD$。

12. 如图 24-1-34,以$//ogram ABCD$的顶点 A 为圆心,AB 长为半径作圆,分别交 AD,BC 于点 E,F,延长 BA 交$\odot A$于点 G.
(1)求证:$\widehat {GE}=\widehat {EF};$
(2)若$\widehat {BF}$所对圆心角的度数为$50^{\circ }$,求$∠C$的度数.

答案：
(1)证明：连接 $AF$。
$\because AB = AF$，
$\therefore \angle ABF=\angle AFB$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形，
$\therefore AD // BC$，
$\therefore \angle AFB=\angle DAF$，$\angle GAD=\angle ABF$，
$\therefore \angle DAF=\angle GAD$，
$∴\overset{\large{\frown}}{GE}=\overset{\large{\frown}}{EF}$。
(2) $115^{\circ}$

13. 核心素养 推理能力 如图 24-1-35,点 A,B,C,D 在$\odot O$上,$\widehat {AD}=\widehat {BC}$,连接 AB,AD,BD,延长 AB 到点 E,使$BE=AB$,连接 EC,F 是 EC 的中点,连接 BF.求证:$BF=\frac {1}{2}BD.$

答案： 证明：连接 $AC$。
$\because AB = BE$，$F$ 是 $EC$ 的中点，
$\therefore BF$ 是 $\triangle EAC$ 的中位线，
$\therefore BF=\frac{1}{2}AC$。
∵$\overset{\large{\frown}}{AD}=\overset{\large{\frown}}{BC}$，
∴$\overset{\large{\frown}}{AD}+\overset{\large{\frown}}{AB}=\overset{\large{\frown}}{BC}+\overset{\large{\frown}}{AB}，$
即$\overset{\large{\frown}}{BD}=\overset{\large{\frown}}{AC}$，
$\therefore BD = AC$，
$\therefore BF=\frac{1}{2}BD$。