《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

8. 如图24-2-26所示，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，$∠A=30^{\circ }$.给出下面三个结论：①$AD=CD$；②$BD=BC$；③$AB=2BC$.其中正确结论的个数是（A）

A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

答案： A

9.（2024包头）如图24-2-27，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB.若$∠AOB=140^{\circ },∠BCP=35^{\circ }$，则$∠ADC$的度数为______$105^{\circ}$.

答案： $105^{\circ}$

10.（教材习题24.2T5变式）如图24-2-28，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，$AB=8$，则图中阴影部分的面积是$16π$.（结果保留π）

答案： $16π$

11. 如图24-2-29，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，$CD⊥AB$于点D，P为AB延长线上一点，$∠PCD=2∠BAC$.
（1）求证：CP为$\odot O$的切线；
（2）若$BP=2,CP=2\sqrt {5}$，求线段AC的长.

答案：
(1)证明:连接OC.
∵$∠POC=2∠BAC$，$∠PCD=2∠BAC$，
∴$∠POC=∠PCD$.
∵$CD⊥AB$，
∴$∠ODC=90^{\circ}$，
∴$∠POC+∠OCD=90^{\circ}$，
∴$∠PCD+∠OCD=90^{\circ}$，
即$∠OCP=90^{\circ}$，
∴$OC⊥CP$.
又
∵OC为$\odot O$的半径，
∴CP为$\odot O$的切线.
(2)$\frac{4\sqrt{30}}{3}$

12. 如图24-2-30，在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ },AC=8,BC=6$，P为边BC上一个动点（点P可以与点C重合，但不与点B重合），以点P为圆心，PB为半径作$\odot P$交AB于点D，过点D作$\odot P$的切线交边AC于点E.
（1）求证：$AE=DE$；
（2）若$PB=2$，求AE的长；
（3）在点P运动的过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围.

答案：

(1)证明:如图，连接PD.
∵DE与$\odot P$相切于点D，
∴$PD⊥DE$，
∴$∠ADE+∠PDB=90^{\circ}$.

∵$∠C=90^{\circ}$，
∴$∠B+∠A=90^{\circ}$.
∵$PD=PB$，
∴$∠PDB=∠B$，
∴$∠A=∠ADE$，
∴$AE=DE$.
(2)$AE=\frac{19}{4}$
(3)$\frac{7}{4}≤AE＜\frac{25}{4}$