《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

1. 如图5-ZT-2，抛物线经过点$A(-3,0),B(1,0),C(0,3)$。
(1)求抛物线的解析式。
(2)在抛物线所在的平面内，是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由。

答案：
(1)$y=-x^{2}-2x+3$
(2)存在 点 D 的坐标为$(-2,-3)$或$(-4,3)$或$(4,3)$

2. 如图5-ZT-3，抛物线$y=ax^{2}+bx+\frac {3}{4}$与x轴交于点$A(-3,0)$和点B，D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为$C(-1,0)$。
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)点M在抛物线上，横坐标为m，连接MC，若$∠MCB=∠DAC$，求m的值。

答案：

(1)$y=-\frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{2}x+\frac {3}{4}$
(2)当$x=-1$时,$y=-\frac {1}{4}+\frac {1}{2}+\frac {3}{4}=1,$
$\therefore D(-1,1).$
设直线 AD 的解析式为$y=kx+n.$
将$A(-3,0),D(-1,1)$代入,
得$\left\{\begin{array}{l} -3k+n=0,\\ -k+n=1,\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l} k=\frac {1}{2},\\ n=\frac {3}{2},\end{array}\right.$
$\therefore$直线 AD 的解析式为$y=\frac {1}{2}x+\frac {3}{2}.$
如图,①当点 M 在 x 轴上方时,
$\because ∠M_{1}CB=∠DAC,$
$\therefore DA// CM_{1},$
$\therefore$设直线$CM_{1}$的解析式为$y=\frac {1}{2}x+b_{1}.$
$\because$直线$CM_{1}$经过点$C(-1,0),$
$\therefore -\frac {1}{2}+b_{1}=0$,解得$b_{1}=\frac {1}{2},$
$\therefore$直线$CM_{1}$的解析式为$y=\frac {1}{2}x+\frac {1}{2}.$
联立$\left\{\begin{array}{l} y=\frac {1}{2}x+\frac {1}{2},\\ y=-\frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{2}x+\frac {3}{4},\end{array}\right.$
解得$x_{1}=-2+\sqrt {5},x_{2}=-2-\sqrt {5}$(不合题意,舍去),
$\therefore m=-2+\sqrt {5};$

②当点 M 在 x 轴下方时,直线$CM_{2}$与直线$CM_{1}$关于 x 轴对称,
由轴对称的性质可得直线$CM_{2}$的解析式为$y=-\frac {1}{2}x-\frac {1}{2}.$
联立$\left\{\begin{array}{l} y=-\frac {1}{2}x-\frac {1}{2},\\ y=-\frac {1}{4}x^{2}-\frac {1}{2}x+\frac {3}{4},\end{array}\right.$
解得$x_{1}=\sqrt {5},x_{2}=-\sqrt {5}$(不合题意,舍去),
$\therefore m=\sqrt {5}.$
综上所述,m 的值为$-2+\sqrt {5}$或$\sqrt {5}.$