《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

8. 如图6-ZT-8,将$Rt\triangle ABC$绕直角顶点C顺时针旋转$90^{\circ }$,得到$\triangle A'B'C$,连接$BB'$.若$∠A'B'B=20^{\circ }$,则$∠A$的度数是______$65^{\circ}$.

答案： $65^{\circ}$

9. 如图6-ZT-9,已知正方形ABCD的边长为3,E为CD边上一点,$DE=1$.以点A为中心,把$\triangle ADE$顺时针旋转$90^{\circ }$,得到$\triangle ABE'$,连接$EE'$,则$EE'$的长为______$2\sqrt{5}$.

答案： $2\sqrt{5}$

10. 如图6-ZT-10,将$\triangle ABC$绕点A顺时针旋转$60^{\circ }$,得到$\triangle AED$,连接BE.若线段$AB=4$,则BE的长为 (C)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： C

11. 如图6-ZT-11所示,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },∠ABC=30^{\circ },AC=1$.将$\triangle ABC$绕点C逆时针旋转至$\triangle A'B'C$的位置,使得点$A'$恰好落在AB上,连接$BB'$,则$BB'$的长为$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$

12. 如图6-ZT-12所示,在四边形ABCD中,$∠ABC=30^{\circ }$,将$\triangle DCB$绕点C顺时针旋转$60^{\circ }$后,点D的对应点恰好与点A重合,得到$\triangle ACE$.若$AB=3,BC=4$,则$BD=$5.

答案： 5

13. 如图6-ZT-13,O是等边三角形ABC内的一点,$∠BOC=150^{\circ }$,将$\triangle BOC$绕点C顺时针旋转,得到$\triangle ADC$,连接OD,OA.
(1)求$∠ODC$的度数;
(2)若$OB=3,OC=2$,求AO的长.

答案：
(1) $\angle ODC = 60^{\circ}$
(2) $AO=\sqrt{13}$

14. 如图6-ZT-14,已知$\triangle ABC$是等边三角形,P为直线l上一动点(不与点A重合),$AC⊥$直线l,连接CP,将线段CP绕点C按逆时针方向旋转$60^{\circ }$,得到线段CQ,连接BQ.
(1)如图①,求证:$\triangle ACP\cong \triangle BCQ;$
(2)如图②,当$AP=AC$时,连接BP,试判断BP与CQ的位置关系,并说明理由.

答案：
解：
(1) 证明：$\because$ 将线段 $CP$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转 $60^{\circ}$，得到线段 $CQ$，
$\therefore CP = CQ$，$\angle PCQ = 60^{\circ}$。
$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore AC = BC$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=\angle PCQ$，
$\therefore \angle ACP=\angle BCQ$。
在 $\triangle ACP$ 和 $\triangle BCQ$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} AC = BC,\\ \angle ACP=\angle BCQ,\\ CP = CQ,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACP\cong \triangle BCQ(SAS)$。
(2) $BP$ 垂直平分线段 $CQ$。理由如下：
连接 $PQ$，延长 $PB$ 交 $CQ$ 于点 $D$，如图。

由
(1) 知 $\triangle ACP\cong \triangle BCQ$，
$\therefore AP = BQ$。
$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore BC = AC$。
$\because AP = AC$，
$\therefore BC = BQ$，
$\therefore$ 点 $B$ 在线段 $CQ$ 的垂直平分线上。
$\because$ 将线段 $CP$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转 $60^{\circ}$，得到线段 $CQ$，
$\therefore CP = CQ$，$\angle PCQ = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle PCQ$ 是等边三角形，
$\therefore PC = PQ$，
$\therefore$ 点 $P$ 在线段 $CQ$ 的垂直平分线上，
$\therefore BP$ 垂直平分线段 $CQ$。