《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

10. 如图 24-1-45,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点 P 处安装了一台监视器,它的监控角度是$58^{\circ }$,为了监控整个展示区,最少需要在其圆形边缘上共安装这样的监视器 (C)
A. 2 台
B. 3 台
C. 4 台
D. 5 台

答案： C

11. 如图 24-1-46,$\odot C$经过平面直角坐标系的原点,且与两坐标轴分别交于点 A,B,点 A 的坐标为$(0,3)$,M 是第三象限内$\odot C$上一点,$∠BMO=120^{\circ }$,则$\odot C$的半径为 (C)
A. 6
B. 5
C. 3
D. $\frac {2\sqrt {6}}{3}$

答案： C

12. 如图 24-1-47,五边形 ABCDE 内接于$\odot O$. 若$∠CAD=40^{\circ }$,则$∠B+∠E$的度数是______$220^{\circ}$.

答案： $220^{\circ}$

13. (2024 海南)如图 24-1-48,AD 是半圆 O 的直径,点 B,C 在半圆上,且$\widehat {AB}=\widehat {BC}=\widehat {CD}$,点 P 在$\widehat {CD}$上,若$∠PCB=130^{\circ }$,则$∠PBA=$100$^{\circ }$.

答案： 100

14. 如图 24-1-49,以$△ABC$的边 AC 为直径作$\odot O$,交 BC 于点 D,过点 C 作$CE// AB$交$\odot O$于点 E,连接 AD,DE,$∠B=∠ADE$.
(1)求证:$AC=BC$;
(2)若$AD=8,BD=4$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1)证明:
∵∠ADE=∠ACE,∠ADE=∠B,
∴∠B=∠ACE.
　
∵CE//AB,
　
∴∠BAC=∠ACE,
　
∴∠B=∠BAC,
　
∴AC=BC.
(2)5

15. 如图 24-1-50,BC 是半圆 O 的直径,P 是半圆的中点,A 是$\widehat {BP}$的中点,$AD⊥BC$于点 D,连接 AB,PB,AC,BP 分别与 AD,AC 相交于点 E,F.
(1)求证:$AE=BE$.
(2)判断 BE 与 EF 是否相等,并说明理由.
(3)小李通过操作发现$CF=2AB$,小李的发现是否正确? 若正确,请说明理由;若不正确,请写出 CF 与 AB 满足的关系式.

答案：
解:
(1)证明:
∵BC是半圆O的直径，
　
∴∠BAC=90°,
　
∴∠ACB+∠ABC=90°.
　
∵AD⊥BC,
　
∴∠ADB=∠ADC=90°,
　
∴∠BAD+∠ABD=90°.
　
∵A是$\overset{\large{\frown}}{BP}$的中点，
　
∴$\overset{\large{\frown}}{AB}=\overset{\large{\frown}}{AP}$，
∴∠ACB = ∠ABP，
　
∴∠ACB = ∠BAD，
　
∴∠ABE=∠BAE,
　
∴AE=BE.
(2)BE=EF.
理由:由
(1)知∠BAC=∠ADC=90°,
∴∠ABP+∠AFB=90°,∠DAC+∠ACB=90°.
又
∵∠ACB=∠ABP,
∴∠DAC=∠AFB,
∴EF=AE.
又
∵AE=BE,
∴BE=EF.
(3)正确.理由:如图，连接CP并延长，交BA 的延长线于点G.
∵P是半圆的中点，BC是半圆O的直径，
∴∠CPF=∠BPG=90°,BP=PC.
在△PCF和△PBG中,
$\begin{cases}\angle PCF = \angle PBG \\PC = PB \\\angle CPF = \angle BPG\end{cases}$
∴△PCF≌△PBG(ASA),
∴CF=BG.
∵∠BAC=90°,
∴∠GAC=90°=∠BAC.
∵$\overset{\large{\frown}}{AB}=\overset{\large{\frown}}{AP}$，
∴∠GCA=∠BCA.
在△BAC和△GAC中，
$\begin{cases}\angle BAC = \angle GAC \\AC = AC \\\angle BCA = \angle GCA\end{cases}$
∴△BAC≌△GAC(ASA),
∴AG=AB=$\frac{1}{2}$BG,
∴CF=2AB.