《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

10. (2024 宁夏)若二次函数 $ y = 2x^2 - x + m $ 的图象与 $ x $ 轴有交点,则 $ m $ 的取值范围是$ m \leq \frac{1}{8} $.

答案： $ m \leq \frac{1}{8} $

11. (2024 新疆生产建设兵团)如图 22-Y-5,抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 6 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $,与 $ x $ 轴交于点 $ B $,线段 $ CD $ 在抛物线的对称轴上移动(点 $ C $ 在点 $ D $ 下方),且 $ CD = 3 $.当 $ AD + BC $ 的值最小时,点 $ C $ 的坐标为______(4,1).

答案： $ (4,1) $

12. (2024 龙东地区)如图 22-Y-6,抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,其中 $ B(1,0),C(0,3) $.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点 $ P $,使得 $ \triangle APC $ 的面积最大? 若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标和 $ \triangle APC $ 面积的最大值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) $ y = -x^2 - 2x + 3 $
(2) 存在 点 $ P $ 的坐标为 $ \left( -\frac{3}{2}, \frac{15}{4} \right) $，$ \triangle APC $ 的面积的最大值为 $ \frac{27}{8} $

13. (2024 陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索 $ L_1 $ 与缆索 $ L_2 $ 均呈抛物线形,桥塔 $ AO $ 与桥塔 $ BC $ 均垂直于桥面,如图 22-Y-7 所示,以 $ O $ 为原点,以直线 $ FF' $ 为 $ x $ 轴,以桥塔 $ AO $ 所在直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系.
已知:缆索 $ L_1 $ 所在抛物线与缆索 $ L_2 $ 所在抛物线关于 $ y $ 轴对称,桥塔 $ AO $ 与桥塔 $ BC $ 之间的距离 $ OC = 100m,AO = BC = 17m $,缆索 $ L_1 $ 的最低点 $ P $ 到 $ FF' $ 的距离 $ PD = 2m $. (桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索 $ L_1 $ 所在抛物线的函数解析式;
(2)点 $ E $ 在缆索 $ L_2 $ 上,$ EF \perp FF' $,且 $ EF = 2.6m,FO ＜ OD $,求 $ FO $ 的长.

答案： 解：
(1) $ \because AO = 17 \, \text{m} $，
$ \therefore A(0,17) $。
$ \because AO = BC $，
$ \therefore $ 由抛物线的轴对称性可知 $ OD = \frac{1}{2}OC = 50 \, \text{m} $。
又 $ \because $ 缆索 $ L_1 $ 的最低点 $ P $ 到 $ FF' $ 的距离 $ PD = 2 \, \text{m} $，$ \therefore $ 抛物线的顶点 $ P $ 的坐标为 $ (50,2) $，
故可设缆索 $ L_1 $ 所在抛物线的函数解析式为 $ y = a(x - 50)^2 + 2 $。
将 $ A(0,17) $ 代入，得 $ 2500a + 2 = 17 $，
解得 $ a = \frac{3}{500} $，
$ \therefore $ 缆索 $ L_1 $ 所在抛物线的函数解析式为 $ y = \frac{3}{500}(x - 50)^2 + 2 $。
(2) $ \because $ 缆索 $ L_1 $ 所在抛物线与缆索 $ L_2 $ 所在抛物线关于 $ y $ 轴对称，缆索 $ L_1 $ 所在抛物线的函数解析式为 $ y = \frac{3}{500}(x - 50)^2 + 2 $，
$ \therefore $ 缆索 $ L_2 $ 所在抛物线的函数解析式为 $ y = \frac{3}{500}(x + 50)^2 + 2 $。
在 $ y = \frac{3}{500}(x + 50)^2 + 2 $ 中，
令 $ y = 2.6 $，得 $ 2.6 = \frac{3}{500}(x + 50)^2 + 2 $，
解得 $ x_1 = -40 $，$ x_2 = -60 $，
$ \therefore FO = 40 \, \text{m} $ 或 $ FO = 60 \, \text{m} $。
$ \because FO ＜ OD = 50 \, \text{m} $，$ \therefore FO $ 的长为 $ 40 \, \text{m} $。