《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

10. 如图24-3-8,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于$\odot O$,则$AD:AB$等于 (B)
A.$2\sqrt {2}:\sqrt {3}$
B.$\sqrt {2}:\sqrt {3}$
C.$\sqrt {3}:\sqrt {2}$
D.$\sqrt {3}:2\sqrt {2}$

答案： B

11. (2024东营)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图24-3-9,$\odot O$的半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形的面积近似估计$\odot O$的面积,可得π的估计值为$\frac {3\sqrt {3}}{2}$.若用圆内接正八边形的面积近似估计$\odot O$的面积,可得π的估计值为2$\sqrt{2}$.

答案： 2$\sqrt{2}$

12. 请阅读下面的材料,并完成相应的任务:
克罗狄斯·托勒密是希腊数学家、天文学家、地理学家和占星家.在数学方面,他还论证了四边形的特性,即有名的托勒密定理,托勒密定理的内容如下:圆的内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积,即:如图24-3-10,若四边形ABCD内接于$\odot O$,则有____.
任务:(1)材料中横线上应填写的内容为AB·CD + AD·BC = AC·BD;
(2)如图24-3-11,正五边形ABCDE内接于$\odot O,AB=2$,求对角线BD的长.
1+√5

答案：
(1)AB·CD + AD·BC = AC·BD
(2)1+√5

13. 如图24-3-12①,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,阅读以下作图过程,并回答问题.
作法如图②.
(i)作直径AF;
(ii)以点F为圆心,FO为半径作弧,与$\odot O$交于点M,N;
(iii)连接AM,MN,NA.
(1)求$∠ABC$的度数;
(2)$\triangle AMN$是等边三角形吗? 请说明理由;
(3)从点A开始,以DN长为半径,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.

答案：
解:
(1)
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=$\frac{(5−2)×180^{\circ}}{5}$=108°.
(2)△AMN是等边三角形.
理由:连接ON,NF,如图.
由题意可得FN=ON=OF,
∴△FON是等边三角形，
∴∠NFA = 60°,
∴∠NMA = 60°.
同理可得∠ANM = 60°,
∴∠MAN = 60°,
∴△AMN是等边三角形.

(3)连接OD，如图.
∵∠NMA = 60°,
∴∠AON = 120°.
∵∠AOD=$\frac{360^{\circ}}{5}$×2 = 144°,
∴∠NOD = ∠AOD−∠AON = 144°−120° = 24°.
∵360°÷24° = 15,
∴n的值是15.