《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

10. 数学思想分类讨论课下小亮和小莹讨论一道题目:已知点O是$△ABC$的外心,$∠BOC=132^{\circ }$,求$∠A$的度数.小亮的解答为:如图24-2-6,画$△ABC$以及它的外接圆$\odot O$,连接OB,OC.由$∠BOC=2∠A=132^{\circ }$,得$∠A=66^{\circ }$.而小莹说:“小亮考虑得不周全,$∠A$应该还有另一个不同的值.”下列判断正确的是 (C)

A. 小亮求的结果不对,$∠A$应该是$48^{\circ }$
B. 小莹说得不对,$∠A$就是$66^{\circ }$
C. 小莹说得对,$∠A$的另一个值是$114^{\circ }$
D. 两人说得都不对,$∠A$的值有无数个

答案： C

11. 如图24-2-7,在矩形ABCD中,$AB=3,AD=4$.过点D作$DE⊥AC$于点E,过点A作$AF⊥BD$于点F.
(1)求AF,AE的长;
(2)若以点A为圆心作圆,点B,C,D,E,F中至少有1个点在圆内,且至少有2个点在圆外,求$\odot A$的半径r的取值范围.

答案：
(1)$AF=\frac{12}{5}$　$AE=\frac{16}{5}$　
(2)$\frac{12}{5}$＜r＜4

12. 核心素养创新意识问题:我们知道,过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,那么任意一个四边形都有外接圆吗?
探索:给出了如图24-2-8所示的四边形,填写出你认为有外接圆的图形的序号:____;
发现:对角之间满足什么关系时,四边形一定有外接圆?写出你的发现;
说理:如果四边形没有外接圆,那么对角之间有上面的关系吗?请结合图24-2-9说明理由.

答案：
解:探索:②
发现:对角互补的四边形一定有外接圆.
说理:如果四边形没有外接圆，那么对角之间没有上面的关系.
理由:如图①，延长DC交$\odot O$于点E，连接BE.
$\because ∠A+∠E=180^{\circ },∠BCD＞∠E,$
$\therefore ∠A+∠BCD＞180^{\circ }.$

如图②，连接DE.
$\because ∠A+∠BED=180^{\circ },∠BED＞∠C,$
$\therefore ∠A+∠C＜180^{\circ }.$