《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

10. 如图24-2-39，PA，PB，CD分别与$\odot O$相切于点A，B，E，CD与PA，PB分别相交于C，D两点.若$∠P=40^{\circ }$，则$∠PAE+∠PBE$的度数为（D）
A. $50^{\circ }$
B. $62^{\circ }$
C. $66^{\circ }$
D. $70^{\circ }$

答案： D

11. 如图24-2-40，点O为$△ABC$的外心，点I为$△ABC$的内心.若$∠BOC=140^{\circ }$，则$∠BIC$的度数为$125^{\circ}$.

答案： $125^{\circ}$

12. 如图24-2-41，在$△ABC$中，$∠ABC=90^{\circ }$，在AB上取一点E，以BE为直径的$\odot O$与AC相切于点D，$AE=2cm,AD=4cm$.
（1）$\odot O$的直径BE为6cm；
（2）求$△ABC$的面积.
$24cm^{2}$

答案：
(1)6
(2)$24cm^{2}$

13.（2024陕西）问题提出
（1）如图24-2-42①，在$△ABC$中，$∠BAC=90^{\circ },AD⊥BC$，垂足为D.若$AB=15,AC=8$，则AD的长为______.
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块三角形板材ABC，其中$AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm$.为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件.你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出$\odot O$的半径；若不可以，请说明理由.

答案：
解:
(1)$\frac{120}{17}$
(2)可以.
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆,
∴所求圆的圆心是$\triangle ABC$的内心.
如图,作$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线$BE$,$CF$交于点$O$,
则点$O$就是裁出的最大圆形部件的圆心$O$的位置.
过点$O$作$OH\perp BC$于点$H$,$OP\perp AC$于点$P$,$OQ\perp AB$于点$Q$,连接$OA$,$OB$,$OC$,过点$A$作$AM\perp BC$于点$M$.

设$BM = xcm$,$\odot O$的半径为$Rcm$.
∵$BC = 160cm$,
∴$CM=(160 - x)cm$.
在$Rt\triangle ABM$中,由勾股定理,得$AM^{2}=AB^{2}-BM^{2}=100^{2}-x^{2}$.
在$Rt\triangle ACM$中,由勾股定理,得$AM^{2}=AC^{2}-CM^{2}=140^{2}-(160 - x)^{2}$,
∴$100^{2}-x^{2}=140^{2}-(160 - x)^{2}$,
解得$x = 50$,
∴$AM=\sqrt{100^{2}-x^{2}}=50\sqrt{3}(cm)$,
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AM=\frac{1}{2}×160×50\sqrt{3}=4000\sqrt{3}(cm^{2})$.
∵点$O$为$\triangle ABC$的内心,
∴$OH = OP = OQ = Rcm$.
∵$S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OCA}+S_{\triangle OAB}=S_{\triangle ABC}$,
∴$\frac{1}{2}BC\cdot OH+\frac{1}{2}AC\cdot OP+\frac{1}{2}AB\cdot OQ=4000\sqrt{3}$,
即$(160 + 140 + 100)R = 8000\sqrt{3}$,
∴$R = 20\sqrt{3}$,
即$\odot O$的半径为$20\sqrt{3}cm$.