《2025年顶尖课课练九年级数学下册人教版》

4. 已知实数m满足m² − m − 1 = 0，则2m³ − 3m² − m + 9 = ______。

答案： 8

5. 阅读下列材料：小明为了计算1 + 2 + 2² + … + 2²⁰²² + 2²⁰²³的值，采用以下方法：设S = 1 + 2 + 2² + … + 2²⁰²² + 2²⁰²³……①，则2S = 2 + 2² + … + 2²⁰²³ + 2²⁰²⁴……②，由② − ①得2S − S = 2²⁰²⁴ − 1。∴S = 1 + 2 + 2² + … + 2²⁰²² + 2²⁰²³ = 2²⁰²⁴ − 1。请回答下列各题。
(1) 1 + 2 + 2² + … + 2⁹ = __________；
(2) 3 + 3² + … + 3¹⁰ = ______；
(3) 求1 + a + a² + … + aⁿ的和Sₙ(a ＞ 0，n是正整数，请写出计算过程)。

答案：
(1) 2a - 1
(2) 当$a = 1$时，值为$-\frac{1}{2}$；当$a≠1$时，$S=\begin{cases}n + 1, & a = 1 \\ \frac{a^{n + 1}-1}{a - 1}, & a≠1\end{cases}$

6. 已知反比例函数y = $\frac{m}{x}$上有两个不同的点(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，若满足x₁ + x₂ = 3，y₁ + y₂ = 9，x₁x₂ = 2，求出m的值。

答案： 6

7. 已知有理数a，b满足ab = 1，M = $\frac{1}{1 + a}$ + $\frac{1}{1 + b}$，N = $\frac{a}{1 + a}$ + $\frac{b}{1 + b}$，请比较M和N的大小关系。

答案： $M = N$

8. 若a = 49，b = 109，则ab − 9a = __________。

答案： 4900

9. 已知x = $\sqrt{6}$ + $\sqrt{2}$，那么x² − 2$\sqrt{2}$x的值是______。

答案： 4

10. 若实数a，b，c满足a − 2b + c = 0，a + 2b + c ＜ 0，则(　　　)。
A. b ＞ 0，b² − ac ≤ 0
B. b ＜ 0，b² − ac ≤ 0
C. b ＞ 0，b² − ac ≥ 0
D. b ＜ 0，b² − ac ≥ 0

答案： D

11. 已知凸四边形ABCD的四条边的长依次是a，b，c，d，且a² + ab − ac − bc = 0，b² + bc − bd − cd = 0，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由。

答案： 平行四边形，理由略