《2025年顶尖课课练九年级数学下册人教版》

11.我们定义:如图Z2−3①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0＜α＜180°)得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'.当α+β=180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.


(1)特例感知:在图Z2−3②、图Z2−3③中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图Z2−3②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=____BC;
②如图Z2−3③，当∠BAC=90°，BC=8时，AD的长为______;
(2)猜想论证:在图Z2−3①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给出证明;
(3)拓展应用:如图Z2−3④，在四边形ABCD中，∠C=90°,∠D=150°，BC=12,CD=2$\sqrt{3}$，DA=6，在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，请给出证明，并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在，请说明理由.

答案：
(1)①1/2；②4
(2)AD = 1/2BC，证明略
(3)存在，证明略，“旋补中线”长为√39