《2025年顶尖课课练九年级数学下册人教版》

8.已知到三角形三个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC是锐角(或直角)三角形，那么其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,例如，等边三角形的费马点是其三条高的交点.若AB=AC=$\sqrt{7}$,BC=2$\sqrt{3}$，P为△ABC的费马点，则PA + PB+PC=________;若AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，AC=4，P为△ABC的费马点，则PA + PB+PC=__________.

答案： 5；2√7

9.定义:有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
(1)如图Z2−2①，在等腰直角四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,
①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长;
②若AC⊥BD，求证:AD=CD;
(2)如图Z2−2②，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长.

图Z2−2

答案：
(1)①√2；②略
(2)5或6.5

10.定义:平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)，点Q(c，d)，若c=ka，d=−kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”.例如，点(−4，6)是点(2，3)的“−2级变换点”.
(1)函数y=−$\frac{4}{x}$的图象上是否存在点(1，2)的“k级变换点”？若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.
(2)点A[($\frac{1}{2}$t−2)]与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点(m²，y1),(m²,y2)，若k≤−2，求证:y1−y2≥2;
(3)关于x的二次函数y=nx²−4nx - 5n(x≥0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y=−x+5上，求n的取值范围.

答案：
(1)存在，k = ±√2
(2)略
(3)0＜n≤1且n≠1/6