《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

19. [情境创新类问题]（2022·西安交大附中模拟）小玲和小亮很想知道法门寺合十舍利塔的高度$AB$，于是，他们带着测量工具来到合十舍利塔进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在点$C$处放置一平面镜，她从点$C$沿$BC$后退，当退行$1.2$米到点$E$处时，恰好在镜子中看到塔顶$A$的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离$DE$为$1.6$米；然后，小玲沿$BC$的延长线继续后退到点$G$，用测倾器测得舍利塔的顶端$A$的仰角为$45^{\circ}$，此时，测得$EG = 34.2$米，测倾器的高度$FG = 1.6$米. 已知点$B$，$C$，$E$，$G$在同一水平直线上，且$AB$，$DE$，$FG$均垂直于$BG$. 求合十舍利塔的高度$AB$.

答案：
如图，设FH⊥AB于点H。根据题意可知，DE = FG = 1.6米，CE = 1.2米，EG = 34.2米，∠AFD = 45°，HF = BG，所以AH = HF。 - 设AH = HF = $x$米，所以$BC = BG - CE - EG = x - 1.2 - 34.2=(x - 35.4)$米，$AB=(x + 1.6)$米。 - 根据题意可知，∠DEC = ∠ABC = 90°，∠DCE = ∠ACB，所以△DCE∽△ACB，所以$\frac{CE}{CB}=\frac{DE}{AB}$，即$\frac{1.2}{x - 35.4}=\frac{1.6}{x + 1.6}$，所以$x = 146.4$，所以AH = 146.4米，所以$AB = 146.4 + 1.6 = 148$（米）。故合十舍利塔的高度AB为148米。

20. [传统文化]（2023·湘潭中考）[问题情境]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图（1））. 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时$120$秒.
[问题设置]把筒车抽象为一个半径为$r$的$\odot O$. 如图（2），$OM$始终垂直于水平面，设筒车半径为$2$米. 当$t = 0$时，某盛水筒恰好位于水面$A$处，此时$\angle AOM = 30^{\circ}$，经过$95$秒后该盛水筒运动到点$B$处.
[问题解决]
- （1）求该盛水筒从$A$处逆时针旋转到$B$处时，$\angle BOM$的度数；
- （2）求该盛水筒旋转至$B$处时，它到水面的距离.（结果精确到$0.1$米，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$）

答案：
-
(1)由于筒车每旋转一周用时120秒，所以每秒转过$360^{\circ}\div120 = 3^{\circ}$，所以∠BOM = $360^{\circ}-3^{\circ}\times95 - 30^{\circ}=45^{\circ}$。 -
(2)如图，过点B，点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C，D。在Rt△AOD中，∠AOD = 30°，OA = 2米，所以$OD=\frac{\sqrt{3}}{2}OA=\sqrt{3}$米。 - 在Rt△BOC中，∠BOC = 45°，OB = 2米，所以$OC=\frac{\sqrt{2}}{2}OB=\sqrt{2}$米，所以$CD = OD - OC=\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx0.3$（米）。故该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米。! - **方法诠释**：本题考查了解直角三角形在实际测量中的应用，通过作适当的辅助线，把问题转化为在直角三角形中解决。