《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

7 如图，点$P$是反比例函数$y = \frac{6}{x}$（$x＞0$）的图象上的任意一点，过点$P$分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形$OAPB$，点$D$是矩形$OAPB$内任意一点，连接$DA$，$DB$，$DP$，$DO$，则图中阴影部分的面积是( )．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C

8 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，梯形$AOBC$的边$OB$在$x$轴的正半轴上，$AC// OB$，$BC\perp OB$，过点$A$的双曲线$y = \frac{k}{x}$的一支在第一象限交梯形对角线$OC$于点$D$，交边$BC$于点$E$．若点$C$的坐标为$(2,2)$，求阴影部分面积$S$最小值.

（第8题）

答案： 因为梯形$AOBC$的边$OB$在$x$轴的正半轴上，$AC// OB$，$BC\perp OB$，点$C$的坐标为$(2,2)$， 所以点$A$的纵坐标为$2$，点$E$的横坐标为$2$，点$B$的坐标为$(2,0)$。把$y = 2$代入$y = \frac{k}{x}$，得$x = \frac{k}{2}$； 把$x = 2$代入$y = \frac{k}{x}$，得$y = \frac{k}{2}$。 所以点$A$的坐标为$(\frac{k}{2},2)$，点$E$的坐标为$(2,\frac{k}{2})$， 所以$S = S_{\triangle ACE}+S_{\triangle OBE}$ $=\frac{1}{2}(2 - \frac{k}{2})(2 - \frac{k}{2})+\frac{1}{2}×2×\frac{k}{2}$ $=\frac{1}{8}k^{2}-\frac{1}{2}k + 2=\frac{1}{8}(k - 2)^{2}+\frac{3}{2}$。 当$k - 2 = 0$，即$k = 2$时，$S$最小，最小值为$\frac{3}{2}$。

9（2023·吉林长春二道区力旺实验中学期末）如图，已知矩形$ABCD$的对角线$BD$的中点$E$与点$B$都在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，且$S_{矩形ABCD}=8$，则$k$的值为( )．
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

答案： B [解析]如图，过点$E$作$EM\perp AD$于点$M$，过点$E$作$EN\perp AB$于点$N$，设$B(a,b)$，所以$AB = a$。 因为$S_{矩形ABCD} = 8$，所以$AD = \frac{8}{a}$。 所以$D(0,b+\frac{8}{a})$。 因为点$E$为矩形$ABCD$对角线$BD$的中点， 所以$E(\frac{a}{2},b+\frac{4}{a})$。 因为点$E$与点$B$都在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上， 所以$\frac{a}{2}\cdot(b+\frac{4}{a}) = ab$，所以$ab = 4$。 由图可知，反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过第一象限， 所以$k = ab = 4$。故选B。

10（2023·无锡梁溪区辅仁中学一模）如图，矩形$ABCD$的顶点$A$和对称中心都在反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k\neq0$，$x＞0$）的图象上，若矩形$ABCD$的面积为8，则$k$的值为( )．

A. 8
B. $3\sqrt{3}$
C. $2\sqrt{2}$
D. 4

答案： D [解析]如图，延长$DA$交$y$轴于点$E$。 设$A$点的坐标为$(m,n)$，则根据矩形的性质得出矩形的对称中心的纵坐标为$\frac{n}{2}$。 因为矩形$ABCD$的对称中心在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上， 所以$x = \frac{2k}{n}$，所以矩形$ABCD$的对称中心的坐标为$(\frac{2k}{n},\frac{n}{2})$，所以$BC = 2(\frac{2k}{n}-m)=\frac{4k}{n}-2m$。 因为$S_{矩形ABCD} = 8$， 所以$(\frac{4k}{n}-2m)\cdot n = 8$。即$4k - 2mn = 8$。 因为点$A(m,n)$在$y = \frac{k}{x}$上，所以$mn = k$。 所以$4k - 2k = 8$。解得$k = 4$。故选D。

11 如图，$A$是反比例函数图象上一点，过点$A$作$AB\perp y$轴于点$B$，点$C$，$D$为$x$轴上动点，若$CD = 3AB$，四边形$ABCD$的面积为4，求这个反比例函数的解析式.

答案： 连接$BD,AO$，设该反比例函数的解析式为$y = \frac{k}{x}(k\neq0,x ＞ 0)$。 因为$CD = 3AB$，四边形$ABCD$的面积为$4$， 所以$S_{\triangle BCD} = 3S_{\triangle ABD} = 3S_{\triangle AOB}$， 所以$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} = 1$， 所以$\frac{1}{2}|k| = 1$，所以$k = \pm2$。 又反比例函数图象的一支位于第一象限， 所以$k ＞ 0$。所以$k = 2$。 所以这个反比例函数的解析式为$y = \frac{2}{x}$。

12（2023·湘潭中考）如图，在平面直角坐标系中，$O$是坐标原点，点$A$是反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k\neq0$）图象上的一点，过点$A$分别作$AM\perp x$轴于点$M$，$AN\perp y$轴于点$N$，若四边形$AMON$的面积为2，则$k$的值是( )．
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1

答案： A