《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

1 如图，一次函数$y_1 = k_1x + b$与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x ＞ 0)$的图象交于$A(2,8)$，$B(a,2)$两点，点$P$是线段$AB$上一动点，过点$P$作$PC\perp x$轴于点$C$，连接$PO$.
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)$\triangle POC$的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.

答案： 1.
(1) 因为一次函数 \(y_1 = k_1x + b\) 与反比例函数 \(y_2=\frac{k_2}{x}(x > 0)\) 的图象交于 \(A(2,8)\)，\(B(a,2)\) 两点， 所以 \(k_2 = 2×8 = 16\)， 所以反比例函数的解析式为 \(y_2=\frac{16}{x}\)。 把 \(B(a,2)\) 代入 \(y_2\)，得 \(2=\frac{16}{a}\)，解得 \(a = 8\)，所以 \(B(8,2)\)。 把 \(A\)，\(B\) 的坐标代入 \(y_1 = k_1x + b\)，得 \(\begin{cases}2k_1 + b = 8\\8k_1 + b = 2\end{cases}\)，解得 \(\begin{cases}k_1=-1\\b = 10\end{cases}\)。 所以一次函数的解析式为 \(y_1=-x + 10\)。
(2) \(\triangle POC\) 的面积存在最大值，为 \(\frac{25}{2}\)。理由如下： 依题意，设点 \(P\) 的坐标为 \((n,-n + 10)(2\leq n\leq8)\)， 则 \(S_{\triangle POC}\) 的面积 \(S=\frac{1}{2}n(-n + 10)=-\frac{1}{2}n^2+5n=-\frac{1}{2}(n - 5)^2+\frac{25}{2}\)。 因为 \(-\frac{1}{2}<0\)，\(2\leq n\leq8\)，所以当 \(n = 5\) 时，\(S_{最大}=\frac{25}{2}\)。 故 \(\triangle POC\) 的面积存在最大值，为 \(\frac{25}{2}\)。 

2 (2023·苏州中考)如图，一次函数$y = 2x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象交于点$A(4,n)$.将点$A$沿$x$轴正方向平移$m$个单位长度得到点$B$，$D$为$x$轴正半轴上的点，点$B$的横坐标大于点$D$的横坐标，连接$BD$，$BD$的中点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上.
(1)求$n$，$k$的值；
(2)当$m$为何值时，$AB\cdot OD$的值最大？最大值是多少？

答案：
 2.
(1) 将点 \(A(4,n)\) 代入 \(y = 2x\)，得 \(n = 8\)， 所以点 \(A\) 的坐标为 \((4,8)\)。 将 \(A(4,8)\) 代入 \(y=\frac{k}{x}\)，得 \(k = 32\)。
(2) 因为点 \(B\) 的横坐标大于点 \(D\) 的横坐标， 所以点 \(B\) 在点 \(D\) 的右侧。 过点 \(C\) 作直线 \(EF\perp x\) 轴于点 \(F\)，交 \(AB\) 于点 \(E\)，如图
。 由平移的性质得 \(AB\parallel x\) 轴，\(AB = m\)， 所以 \(\angle B=\angle CDF\)。 因为点 \(C\) 为 \(BD\) 的中点，所以 \(BC = DC\)。 在 \(\triangle ECB\) 和 \(\triangle FCD\) 中， \(\begin{cases}\angle B=\angle CDF\\BC = DC\\\angle BCE=\angle DCF\end{cases}\)， 所以 \(\triangle ECB\cong\triangle FCD(ASA)\)， 所以 \(BE = DF\)，\(CE = CF\)。 因为 \(AB\parallel x\) 轴，点 \(A\) 的坐标为 \((4,8)\)，所以 \(EF = 8\)， 所以 \(CE = CF = 4\)，所以点 \(C\) 的纵坐标为 \(4\)， 由
(1)知，反比例函数的解析式为 \(y=\frac{32}{x}\)， 所以当 \(y = 4\) 时，\(x = 8\)，所以点 \(C\) 的坐标为 \((8,4)\)， 所以点 \(E\) 的坐标为 \((8,8)\)，点 \(F\) 的坐标为 \((8,0)\)。 因为点 \(A(4,8)\)，\(AB = m\)，\(AB\parallel x\) 轴， 所以点 \(B\) 的坐标为 \((m + 4,8)\)， 所以 \(BE=m + 4-8=m - 4\)，所以 \(DF = BE=m - 4\)， 所以 \(OD = 8-(m - 4)=12 - m\)。 所以 \(AB\cdot OD=m(12 - m)=-(m - 6)^2+36\)， 所以当 \(m = 6\) 时，\(AB\cdot OD\) 取得最大值，最大值为 \(36\)。

3 (2023·开封尉氏二模)如图，在平面直角坐标系内，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象和一次函数$y = ax + b$的图象交于点$A(1,m)$，$B(6,1)$.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点$C$是$x$轴上一动点，连接$AC$，$BC$，若三角形$ABC$的面积为$5$，求点$C$的坐标.

答案：
3.
(1) 将 \(B(6,1)\) 代入反比例解析式得 \(k = 1×6 = 6\)， 所以反比例函数的解析式为 \(y=\frac{6}{x}\)。 将 \(A(1,m)\) 代入反比例解析式得 \(m = 6\)，即 \(A(1,6)\)。 将 \(A\) 与 \(B\) 的坐标代入 \(y = ax + b\)，得 \(\begin{cases}a + b = 6\\6a + b = 1\end{cases}\)，解得 \(\begin{cases}a=-1\\b = 7\end{cases}\)， 所以一次函数的解析式为 \(y=-x + 7\)。
(2) 如图，设直线 \(AB\) 与 \(x\) 轴交于点 \(D\)。将 \(y = 0\) 代入 \(y=-x + 7\)，得 \(-x + 7 = 0\)， 解得 \(x = 7\)，所以 \(D(7,0)\)。 因为三角形 \(ABC\) 的面积为 \(5\)， 所以 \(S_{\triangle ACD}-S_{\triangle BCD}=5\)，即 \(\frac{1}{2}CD\cdot6-\frac{1}{2}CD\cdot1 = 5\)， 所以 \(CD = 2\)，所以点 \(C\) 的坐标为 \((5,0)\) 或 \((9,0)\)。