《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

10 如图，直线$l_1// l_2// l_3$，直线$AC$和$DF$被$l_1$，$l_2$，$l_3$所截，$AB = 4$，$AC = 9$，$EF = 4$，则$DE$的长为( ).

(第10题)
A. $\frac{16}{5}$
B. $\frac{16}{9}$
C. 5
D. 9

答案： A

11 (2023·上海嘉定区一模)如图，已知在$\triangle ABC$中，$AD$，$BE$分别是$BC$，$AC$边上的中线，且相交于点$F$，过点$F$作$FG// AC$，那么$\frac{DG}{BC}=$________.

(第11题)

答案： $\frac{1}{6}$

12 (2023·赣州南康区一模)如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，若$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{4}$，$AE = 2$，求$EC$的长.

(第12题)

答案： 因为$DE// BC$，所以$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。 因为$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{4}$，$AE = 2$，所以$\frac{2}{EC}=\frac{1}{4}$，所以$EC = 8$。

13 如图，在平行四边形$ABCD$中，点$E$在$DC$上，若$DE:EC = 1:2$，若$BF = 8\mathrm{cm}$，则$EF$的长为多少？

(第13题)

答案： 因为四边形$ABCD$为平行四边形， 所以$AB// CD$，$AB = CD$， 所以$\triangle ECF\sim\triangle BAF$，所以$\frac{EC}{AB}=\frac{EF}{BF}$。 又$DE:EC = 1:2$，所以$EC = 2ED$， 所以$\frac{EC}{CD}=\frac{2ED}{3ED}=\frac{2}{3}$。 又$BF = 8\ cm$，$AB = CD$， 所以$\frac{EC}{AB}=\frac{EC}{CD}=\frac{EF}{BF}$，所以$\frac{2}{3}=\frac{EF}{8}$，所以$EF=\frac{16}{3}$。

14 如图，$AB// GH// CD$，点$H$在$BC$上，$AC$与$BD$交于点$G$，$AB = 2$，$CD = 3$，求$GH$的长.

(第14题)

答案： 因为$AB// GH// CD$， 所以$\triangle CGH\sim\triangle CAB$，$\triangle BGH\sim\triangle BDC$。 所以$\frac{GH}{AB}=\frac{CH}{BC}$，$\frac{GH}{CD}=\frac{BH}{BC}$。 所以$\frac{GH}{AB}+\frac{GH}{CD}=\frac{CH}{BC}+\frac{BH}{BC}=1$。 因为$AB = 2$，$CD = 3$，所以$\frac{GH}{2}+\frac{GH}{3}=1$，所以$GH=\frac{6}{5}$。

15 [开放探究性问题]我们在学习三角形相似时，往往是添加平行线构造相似三角形的基本图形. 有一学生根据这一理论猜想三角形内角平分线有这样一个性质：如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，则$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$. 如果你认为这个猜想是正确的，请写出一个完整的推理过程.

(第15题)

答案：
如图，过点$D$作$DE// AB$交$CA$于点$E$。 因为$DE// AB$，所以$\angle EDA=\angle BAD$。 因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle EAD$， 所以$\angle EDA=\angle EAD$，所以$EA = ED$。 因为$DE// AB$，所以$\frac{CD}{BD}=\frac{CE}{AE}$，$\triangle CED\sim\triangle CAB$， 所以$\frac{CD}{BD}=\frac{CE}{DE}$，$\frac{CE}{DE}=\frac{CA}{AB}$，所以$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。