《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

5 小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度. 一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示. 于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG = 5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG = 2米，小明眼睛与地面的距离EF = 1.6米，测倾器的高度CD = 0.5米. 已知点F，G，D，B在同一水平直线上，且EF，CD，AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB. （小平面镜的大小忽略不计）

（第5题）

答案：
如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH = BD，BH = CD = 0.5米。 在Rt△ACH中，∠ACH = 45°，
∴AH = CH = BD，
∴AB = AH + BH = (BD + 0.5)米。
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG = ∠ABG = 90°。 由题意，易知∠EGF = ∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BG}$，即$\frac{1.6}{BD + 0.5}=\frac{2}{5 + BD}$， 解得BD = 17.5米，经检验BD = 17.5是原方程的解且符合题意，
∴AB = 17.5 + 0.5 = 18（米）。 故这棵古树的高AB为18米。

6 如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽3 m，坝高4$\sqrt{3}$ m，斜坡AB的坡比i＜sub＞1＜/sub＞=1∶2，斜坡CD的坡比i＜sub＞2＜/sub＞=1∶3.
（1）求坝底宽AD的长.
（2）修筑这个堤坝需要土方多少立方米?

（第6题）

答案：
(1)由题意，得BE⊥AD，CF⊥AD，BE = CF = $4\sqrt{3}$m，BC = EF = 3 m。
∵斜坡AB的坡比$i_{1}=1:2$，斜坡CD的坡比$i_{2}=1:3$，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{DF}=\frac{1}{3}$，
∴AE = $2BE = 8\sqrt{3}$m，DF = $3CF = 12\sqrt{3}$m，
∴AD = AE + EF + DF = $8\sqrt{3}+3 + 12\sqrt{3}=(20\sqrt{3}+3)$m，
∴坝底宽AD的长为$(20\sqrt{3}+3)$m。
(2)
∵BC = 3 m，AD = $(20\sqrt{3}+3)$m，BE = $4\sqrt{3}$m，
∴梯形ABCD的面积 = $\frac{1}{2}(AD + BC)\cdot BE=\frac{1}{2}\times(20\sqrt{3}+3 + 3)\times4\sqrt{3}=(120 + 12\sqrt{3})$m²，
∴修筑这个堤坝需要土方$500\times(120 + 12\sqrt{3})=(60000 + 6000\sqrt{3})$m³。 故修筑这个堤坝需要土方$(60000 + 6000\sqrt{3})$立方米。

7 (2023·信阳潢川一模)小明想要测量如图所示的大树AB的高度，从树的底部B处沿BC方向走15米到了坡比为3∶4的斜坡坡底C处，再沿斜坡向上走10米到D处，测得大树顶部A的仰角为24°，小明的身高DE = 1.6米，求树高AB. (精确到0.1米，参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45）

（第7题）

答案：
如图所示，作EF⊥AB于点F，延长ED交BC的延长线于点G， ! 
∴EG⊥BG。在Rt△CDG中，tan∠DCG = $\frac{DG}{CG}=\frac{3}{4}$，
∴设DG = 3x，则GG = 4x， $(3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}$，解得x = 2（负值舍去），
∴DG = 6米，CG = 8米。 在矩形BGEF中，BG = EF = 15 + 8 = 23（米），BF = EG = 6 + 1.6 = 7.6（米）， 在Rt△AEF中，∠AEF = 24°，
∴AF = EF·tan 24°≈$23\times0.45 = 10.35$（米），
∴AB = AF + BF = 10.35 + 7.6 = 17.95≈18.0（米）。 故树高AB约为18.0米。