《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

9. （2023·成都模拟）如果两个相似三角形的面积之比为1∶4，这两个三角形的周长的和是60 cm，那么小的三角形的周长为________ cm.

答案： 20

10. （2023·山东菏泽成武期中）已知△ABC∽△A'B'C'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，△ABC的周长为20 cm，△A'B'C'的面积是64 cm²，求：
(1)△A'B'C'的周长；
(2)△ABC的面积.

答案：
(1) 因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，所以$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的周长比为$1:2$。 因为$\triangle ABC$的周长为 20 cm，所以$\triangle A'B'C'$的周长为 40 cm。
(2) 因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，所以$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的面积比为$1:4$。 因为$\triangle A'B'C'$的面积为$64 cm^2$，所以$\triangle ABC$的面积是$16 cm^2$。

11. （2023·山西忻州代县期末）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，在△ABC的外部作△BDA，△AEC，△CFB，已知∠1 = ∠2 = ∠3，∠D = ∠E = ∠F = 90°，求△CFB，△AEC，△BDA周长之比.

答案： 因为$\angle1=\angle2=\angle3$，$\angle D=\angle E=\angle F = 90^{\circ}$，所以$\triangle CFB\sim\triangle CEA\sim\triangle BDA$，所以$C_{\triangle CFB}:C_{\triangle CEA}:C_{\triangle BDA}=BC:AC:AB$。 设$AB = 2x$，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，所以$BC = x$，$AC=\sqrt{3}x$，所以$C_{\triangle CFB}:C_{\triangle CEA}:C_{\triangle BDA}=BC:AC:AB=x:\sqrt{3}x:2x = 1:\sqrt{3}:2$。

12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，P为AB上一点，Q为BC上一点，且PQ⊥AB，若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的$\frac{1}{4}$，AB = 5 cm，PB = 2 cm，求△ABC的面积.

答案： 因为$\angle C=\angle QPB$，$\angle B=\angle B$，所以$\triangle BPQ\sim\triangle BCA$。 又$\frac{S_{\triangle BPQ}}{S_{四边形 APQC}}=\frac{1}{4}$，所以$S_{\triangle BPQ}:S_{\triangle BCA}=1:5$，所以$\frac{QB}{AB}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。 因为$AB = 5 cm$，所以$QB=\sqrt{5} cm$。 所以$QP=\sqrt{QB^2 - PB^2}=1 cm$。 所以$S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}\times2\times1 = 1(cm^2)$。 所以$S_{\triangle ABC}=5S_{\triangle BPQ}=5(cm^2)$。

13. 如图，△ABC∽△A'B'C'，BE，B'E'分别是∠ABC，∠A'B'C'的平分线，点D，D'分别是BC，B'C'的三等分点，即CD = 2BD，C'D' = 2B'D'，连接AD，A'D'. 求证：$\frac{AD}{A'D'}=\frac{BE}{B'E'}$.

答案： 因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$BE$，$B'E'$分别是$\angle ABC$，$\angle A'B'C'$的平分线，所以$\frac{BE}{B'E'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，$\angle ABD=\angle A'B'D'$。 因为$BD=\frac{1}{3}BC$，$B'D'=\frac{1}{3}B'C'$，所以$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}$，所以$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}$。 因为$\angle ABD=\angle A'B'D'$，所以$\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$。 所以$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，所以$\frac{AD}{A'D'}=\frac{BE}{B'E'}$。