《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

14. [情境创新类问题](2023·南昌模拟)为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践. 根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（$AB$）$9\ m$ 的水平地面点 $E$ 处，然后一同学沿着直线 $BE$ 后退到点 $D$，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点 $A$，再用皮尺量得 $DE = 3\ m$，该同学身高 $CD = 1.6\ m$. 请你计算树（$AB$）的高度.

答案： 由题意，知∠CDE = ∠ABE = 90°， 又由光的反射原理可知∠CED = ∠AEB， 所以△CED∽△AEB，所以$\frac{CD}{DE}=\frac{AB}{BE}$， 所以$\frac{1.6}{3}=\frac{AB}{9}$，所以AB = 4.8 m。故树高是4.8米。

15. (2023·西安碑林区铁一中学二模)小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高. 如图，路灯顶部 $A$ 处发光，光线透过窗子 $BC$ 照亮地面的长度为 $DE$，小明测得窗户距离地面高度 $BF = 0.6\ m$，窗高 $BC = 1.4\ m$，某一时刻，$FD = 0.6\ m$，$DE = 2.4\ m$，其中 $O$，$F$，$D$，$E$ 四点在同一条直线上，$C$，$B$，$F$ 三点在同一条直线上，且 $OA\perp OE$，$CF\perp OE$，请求出路灯的高度 $OA$.

答案： 因为OA⊥OE，BF⊥OE， 所以BF//OA， 所以△DFB∽△DOA，△ECF∽△EAO， 所以$\frac{BF}{OA}=\frac{DF}{OD}$，$\frac{CF}{OA}=\frac{EF}{OE}$， 所以$\frac{0.6}{OA}=\frac{0.6}{OD}$，$\frac{2}{OA}=\frac{3}{OD + 2.4}$， 所以OA = OD = 4.8 m。 故路灯的高度OA为4.8 m。

16. 有一块锐角三角形卡纸余料 $ABC$，它的边 $BC = 120\ cm$，高 $AD = 80\ cm$，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为 $2:5$ 的矩形纸片 $EFGH$ 和正方形纸片 $PMNQ$，裁剪时，矩形纸片的较长边在 $BC$ 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边 $EH$ 上，其余顶点均分别在 $AB$，$AC$ 上，具体裁剪方式如图所示.
（1）求矩形纸片较长边 $EH$ 的长；
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料 $\triangle AEH$ 中与边 $EH$ 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边 $EH$ 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.

答案： （1）设EF = 2x，EH = 5x， 因为矩形对边EH//BC，所以△AEH∽△ABC， 所以$\frac{EH}{BC}=\frac{AR}{AD}$，即$\frac{5x}{120}=\frac{80 - 2x}{80}$，解得x = 15， 则EH = 5x = 15×5 = 75（cm）。 故矩形纸片较长边EH的长为75 cm。 （2）小聪的剪法不正确。理由如下： 设正方形的边长为a cm，AR = AD - RD = 80 - 2×15 = 50 cm，AK =（50 - a）cm， 由题意，知△APQ∽△AEH， 所以$\frac{PQ}{EH}=\frac{AK}{AR}$，即$\frac{a}{75}=\frac{50 - a}{50}$，解得a = 30。 与边EH平行的中位线长度为$\frac{1}{2}×75 = 37.5$（cm）。 因为37.5≠30，所以小聪的剪法不正确。