《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

6（2023·河南南阳淅川期中）已知一次函数$y = kx + b(k\neq0)$与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m\neq0)$的图象交于$A(2,3)$，$B(-6,n)$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)$M$是$x$轴上一点，满足$|MA - MB|$最大，求点$M$的坐标；
(3)求不等式$kx + b-\frac{m}{x}＜0$的解集.（直接写出答案）

答案：
(1)将A(2,3)代入反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$， 得m = 2×3 = 6，所以$y=\frac{6}{x}$。 将B(-6,n)代入$y=\frac{6}{x}$，得 - 6n = 6， 解得n = - 1，所以B(-6,-1)。 将点A,B的坐标代入一次函数y = kx + b， 得$\begin{cases}2k + b = 3\\-6k + b = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$， 所以$y=\frac{1}{2}x + 2$。
(2)如图，过点B作关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点M，则此时|AM - BM|最大，且长度等于AB'的长。 根据对称可知B'(-6,1)，设直线AB'的解析式为y = cx + d，代入(2,3)和(-6,1)， 得$\begin{cases}2c + d = 3\\-6c + d = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}c=\frac{1}{4}\\d=\frac{5}{2}\end{cases}$。 所以直线AB'的解析式为$y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}$。 当y = 0时，x = - 10，所以M(-10,0)。
(3)x＜-6或0＜x＜2。

7（2023·自贡中考）如图，点$A(2,4)$在反比例函数$y_{1}=\frac{m}{x}$图象上. 一次函数$y_{2}=kx + b$的图象经过点$A$，分别交$x$轴，$y$轴于点$B$，$C$，且$\triangle OAC$与$\triangle OBC$的面积比为$2:1$.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出$y_{1}\geq y_{2}$时，$x$的取值范围.

答案：
(1)因为点A(2,4)在反比例函数$y_1=\frac{m}{x}$图象上， 所以m = 2×4 = 8， 所以反比例函数的解析式为$y_1=\frac{8}{x}$。 因为△OAC与△OBC的面积比为2∶1,A(2,4)， 所以B(1,0)或B(-1,0)。 把A(2,4),B(1,0)代入y₂ = kx + b，得$\begin{cases}2k + b = 4\\k + b = 0\end{cases}$， 解得$\begin{cases}k = 4\\b=-4\end{cases}$，所以一次函数的解析式为y₂ = 4x - 4。 把A(2,4),B(-1,0)代入y₂ = kx + b，得$\begin{cases}2k + b = 4\\-k + b = 0\end{cases}$， 解得$\begin{cases}k=\frac{4}{3}\\b=\frac{4}{3}\end{cases}$，所以一次函数的解析式为$y_2=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$。 综上，一次函数的解析式为y₂ = 4x - 4或$y_2=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$。
(2)当y₂ = 4x - 4时，x的取值范围x≤-1或0＜x≤2；当$y_2=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$时，x的取值范围x≤-3或0＜x≤2。

8 如图，已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象与一次函数$y=-x + b$的图象在第一象限交于$A(1,3)$，$B(3,1)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)已知点$P(a,0)(a＞0)$，过点$P$作平行于$y$轴的直线，在第一象限内交一次函数$y=-x + b$的图象于点$M$，交反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象于点$N$. 若$PM＞PN$，结合函数图象直接写出$a$的取值范围.

答案：
(1)因为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与一次函数y = - x + b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点，所以$3=\frac{k}{1}$，3 = - 1 + b， 所以k = 3，b = 4， 所以反比例函数和一次函数的解析式分别为$y=\frac{3}{x}$，y = - x + 4。
(2)如图，当1＜a＜3时，PM＞PN。