《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

11 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，点 D 和点 E 分别在 BC，AB 上，若 AC = 8，CD = 2，DE⊥AB，sin B = $\frac{4}{5}$，则 ED 的长度为( )．
A. 3.2
B. 4
C. 4.5
D. 4.8

答案： A

12 “健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步. 已知此步道外形近似于如图所示的 Rt△ABC，其中∠C = 90°，AB 与 BC 间另有步道 DE 相连，D 地在 AB 正中位置，E 地与 C 地相距 1 km. 若 tan∠ABC = $\frac{3}{4}$，∠DEB = 45°，小张某天沿 A→C→E→B→D→A 路线跑一圈，则他跑了________km.

答案： 24

16 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A，C 的坐标分别是 A（0，2）和 C(2$\sqrt{3}$，0)，点 D 是对角线 AC 上一动点（不与 A，C 点重合），连接 BD，作 DE⊥DB，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF．
(1)点 B 的坐标为________．
(2)是否存在这样的点 D，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长度；若不存在，请说明理由.
(3)①求证：$\frac{DE}{DB}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$．
②若矩形 BDEF 的面积为 y，直接写出 y 的最小值.

答案：
(1)$(2\sqrt{3},2)$
(2)存在。理由如下：如图
(1)，连接BE，取BE的中点K，连接DK，KC。因为$\angle BDE=\angle BCE = 90^{\circ}$，所以$KD = KB = KE = KC$，所以B，D，E，C四点共圆，所以$\angle DBE=\angle DCE$，$\angle EDC=\angle EBC$。因为$\tan\angle ACO=\frac{AO}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\angle ACO = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$。如图
(1)，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有$ED = EC$，所以$\angle DCE=\angle EDC = 30^{\circ}$，所以$\angle BDC=\angle BCD = 60^{\circ}$，所以△DBC是等边三角形，所以$DC = BC = 2$。在Rt△AOC中，$\angle ACO = 30^{\circ}$，$OA = 2$，所以$AC = 2AO = 4$，所以$AD = AC - CD = 4 - 2 = 2$。故当$AD = 2$时，△DEC是等腰三角形。如图
(2)，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有$CD = CE$，$\angle DBC=\angle DEC=\angle CDE = 15^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle ADB = 75^{\circ}$，所以$AB = AD = 2\sqrt{3}$。综上所述，满足条件的AD的值为2或$2\sqrt{3}$。
(3)①由
(2)可知，B，D，E，C四点共圆，所以$\angle DBE=\angle DCO = 30^{\circ}$，所以$\tan\angle DBE=\frac{DE}{DB}$，所以$\frac{DE}{DB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 ②如图
(2)，作$DH\perp AB$于点H。在Rt△ADH中，设$AD = x(0\lt x\lt4)$，因为$\angle DAH=\angle ACO = 30^{\circ}$，所以$DH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}x$，$AH=\sqrt{AD^{2}-DH^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，所以$BH = 2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$。在Rt△BDH中，$BD=\sqrt{BH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{2}x)^{2}+(2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2}}$，所以$DE=\frac{\sqrt{3}}{3}BD=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{(\frac{1}{2}x)^{2}+(2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2}}$，所以$y=\frac{\sqrt{3}}{3}[(\frac{1}{2}x)^{2}+(2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2}]=\frac{\sqrt{3}}{3}(x^{2}-6x + 12)=\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 3)^{2}+\sqrt{3}$。因为$0\lt x\lt4$，所以当$x = 3$时，y取最小值，y的最小值为$\sqrt{3}$。

17 阅读下列材料：
如图(1)，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，可以得到：S△ABC = $\frac{1}{2}$ab sin C = $\frac{1}{2}$ac sin B = $\frac{1}{2}$bc sin A．
证明：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D.
在 Rt△ABD 中，sin B = $\frac{AD}{c}$，
∴AD = c·sin B，∴S△ABC = $\frac{1}{2}$a·AD = $\frac{1}{2}$ac sin B.
同理：S△ABC = $\frac{1}{2}$ab sin C，S△ABC = $\frac{1}{2}$bc sin A.
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$ab sin C = $\frac{1}{2}$ac sin B = $\frac{1}{2}$bc sin A.
(1)通过上述材料证明：$\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{\sin B}$ = $\frac{c}{\sin C}$；
(2)运用(1)中的结论解决问题：
如图(2)，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择 A，B，C 三个测量点，在 B 点测得 A 在北偏东 75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶 18 km 到达 C 点，测得 A 在北偏西 45°方向上，根据以上信息，求 A，B，C 三点围成的三角形的面积.（参考数据：sin 15°≈0.3，sin 120°≈0.9，$\sqrt{2}$≈1.4，结果取整数）

答案：
(1)因为$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B$，所以$b\sin C = c\sin B$，所以$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。同理得$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，所以$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
(2)由题意，得$\angle ABC = 90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，所以$\angle A = 180^{\circ}-15^{\circ}-45^{\circ}=120^{\circ}$，由$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得$\frac{18}{\sin120^{\circ}}=\frac{AC}{\sin15^{\circ}}$，所以$AC\approx6\ km$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot\sin\angle ACB=\frac{1}{2}\times6\times18\times0.7\approx38(km^{2})$。故A，B，C三点围成的三角形的面积为$38\ km^{2}$。