《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

15. （2023·广元中考）如图，已知一次函数$y = kx + 6$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}(m\gt0)$的图象交于$A(3,4)$，$B$两点，与$x$轴交于点$C$，将直线$AB$沿$y$轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点$D$，$E$.
- （1）求$k$，$m$的值及$C$点坐标；
- （2）连接$AD$，$CD$，求$\triangle ACD$的面积.

答案：
15. -
(1)因为一次函数\(y = kx + 6\)的图象与反比例函数\(y = \frac{m}{x}(m\gt0)\)的图象交于\(A(3,4)\)，\(B\)两点，所以\(4 = 3k + 6\)，\(4=\frac{m}{3}\)，所以\(k = -\frac{2}{3}\)，\(m = 12\)，所以一次函数的解析式为\(y = -\frac{2}{3}x + 6\)，反比例函数的解析式为\(y = \frac{12}{x}\). 把\(y = 0\)代入\(y = -\frac{2}{3}x + 6\)，得\(0 = -\frac{2}{3}x + 6\)，解得\(x = 9\)，所以点\(C\)的坐标为\((9,0)\). -
(2)如图，延长\(DA\)交\(x\)轴于点\(F\).
将直线\(AB\)沿\(y\)轴向上平移3个单位长度后的解析式为\(y = -\frac{2}{3}x + 6 + 3=-\frac{2}{3}x + 9\)，联立\(\begin{cases}y = -\frac{2}{3}x + 9\\y = \frac{12}{x}\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y = 8\end{cases}\)或\(\begin{cases}x = 12\\y = 1\end{cases}\)，所以\(D(\frac{3}{2},8)\). 设直线\(AD\)的解析式为\(y = ax + b\)，把\(A\)，\(D\)的坐标代入，得\(\begin{cases}3a + b = 4\\\frac{3}{2}a + b = 8\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a = -\frac{8}{3}\\b = 12\end{cases}\)，所以直线\(AD\)的解析式为\(y = -\frac{8}{3}x + 12\). 令\(y = 0\)，则\(0 = -\frac{8}{3}x + 12\)，解得\(x=\frac{9}{2}\)，所以\(F(\frac{9}{2},0)\)，所以\(CF = 9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}\)，所以\(S_{\triangle ACD}=S_{\triangle CDF}-S_{\triangle CAF}=\frac{1}{2}\times\frac{9}{2}\times8-\frac{1}{2}\times\frac{9}{2}\times4 = 9\). 

16. [开放探究性问题]已知函数$y=\begin{cases}\frac{3}{x},x\leq - 1\\3x, - 1\lt x\lt1\\\frac{3}{x},x\geq1\end{cases}$
- （1）画出函数图象.
- 列表：[此处有一个表格，分别为$x$和$y$的取值情况，表格中为省略号]
- 描点，连线得到函数图象：[此处有第16题的函数图象]
- （2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值；若没有，简述理由.
- （3）设$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$是函数图象上的点，若$x_1 + x_2 = 0$，求证：$y_1 + y_2 = 0$.

答案：
16. -
(1)列表如下： 函数图象如图所示： -
(2)根据图象可知，当\(x = 1\)时，函数有最大值，是3；当\(x = - 1\)时，函数有最小值，是\(-3\). -
(3)因为\((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\)是函数图象上的点，\(x_1 + x_2 = 0\)，所以\(x_1\)和\(x_2\)互为相反数. 当\(-1\lt x_1\lt1\)时，\(-1\lt x_2\lt1\)，所以\(y_1 = 3x_1\)，\(y_2 = 3x_2\). 所以\(y_1 + y_2 = 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2)=0\). 当\(x_1\leqslant - 1\)时，\(x_2\geqslant1\)，所以\(y_1 + y_2=\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}=\frac{3(x_1 + x_2)}{x_1x_2}=0\). 同理，当\(x_1\geqslant1\)时，\(x_2\leqslant - 1\)，\(y_1 + y_2 = 0\). 综上所述，\(y_1 + y_2 = 0\).