《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

11（2023·山东青岛市南区期末）已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{5}(b + 2d≠0)$，则$\frac{a + 2c}{b + 2d}$的值为_______.

答案： $\frac{2}{5}$

12（2023·江苏扬州江都区月考）已知x : y : z = 2 : 3 : 4，则$\frac{xy + 2yz - 3xz}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$的值为_______.

答案： $\frac{6}{29}$

13 已知A，B两市的实际距离是300 km，量得两地在地图上的距离是5 cm，这个地图的比例尺是多少？若在地图上量得A，C两市的距离是16 cm，则A，C两市的实际距离是多少千米？

答案： 比例尺为$\frac{5}{300\times10^{3}\times10^{2}} = 1:6000000$。 设$A$，$C$两市的实际距离为$x$km， 则$\frac{16}{x\times10^{3}\times10^{2}}=\frac{1}{6000000}$，解得$x = 960$。 故$A$，$C$两市的实际距离为960 km。

14 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}$，且a + b + c = 12，请你探索△ABC的形状.

答案： 设$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}=k$， 可得$a = 3k - 4$，$b = 2k - 3$，$c = 4k - 8$， 代入$a + b + c = 12$，得$9k - 15 = 12$，解得$k = 3$， 所以$a = 5$，$b = 3$，$c = 4$。因为$b^{2}+c^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$a^{2}=25$， 所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，所以$\triangle ABC$为直角三角形。

15（2023·陕西西安长安区期中）已知三条长度分别为2 cm，6 cm，12 cm的线段，若再添一条线段，使这四条线段成比例. 求所添线段的长度.

答案： 根据题意，得 当$2:6 = 12:d$时，解得$d = 36$； 当$6:12 = 2:d$时，解得$d = 4$； 当$12:2 = 6:d$时，解得$d = 1$。 故所添线段的长度为36 cm或4 cm或1 cm。

16 [开放探究性问题]如图，A，B，C是4×5网格中的三个格点，网格中的每个小正方形的边长为1.
（1）求出线段AB与BC的比；
（2）请问在网格中是否存在一点D，使线段BC与BD的比为1 : 2？如果存在，请在图中表示出来；如果不存在，请说明理由.

答案：

(1) 利用勾股定理计算，得$BC=\sqrt{2}$，$AB = 2\sqrt{5}$， $2\sqrt{5}:\sqrt{2}=\sqrt{10}:1$。 所以$AB$与$BC$的比是$\sqrt{10}:1$。
(2) 存在，如图所示，有两个符合题意的点：$D_{1}$，$D_{2}$。 （第16题）