《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

10（2023·榆林榆阳区二模）如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = 6，sin C = $\frac{1}{2}$，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，∠CAD = 15°，求 CD 的长度.

答案： 在Rt△ABC中，$\sin C=\frac{1}{2}$，所以$\angle C = 30^{\circ}$，所以$AB=\frac{1}{2}AC = 3$，$BC = AC\cdot\cos30^{\circ}=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，$\angle CAB = 60^{\circ}$，所以$\angle DAB = 60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ}$，所以$AB = DB = 3$，所以$CD = BC - DB = 3\sqrt{3}-3$。故CD的长度是$3\sqrt{3}-3$。

13 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，sin∠ABC = $\frac{1}{3}$，D 是边 AB 上一点，且 CD = CA，BE⊥CD，垂足为 E．
(1)求∠EBD 的正弦值；
(2)求 AD 的长.

答案：
(1)因为$AC = CD$，所以$\angle CAD=\angle ADC=\angle EDB$。因为在Rt△EDB中，$\angle EDB+\angle EBD = 90^{\circ}$，在Rt△ABC中，$\angle CAD+\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle EBD=\angle ABC$，所以$\sin\angle EBD=\sin\angle ABC=\frac{1}{3}$。
(2)如图，过点C作$CF\perp AB$于点F。在Rt△ACB中，$\cos\angle CAB=\frac{CA}{AB}=\sin\angle ABC=\frac{1}{3}$，所以在Rt△AFC中，$\cos\angle CAF=\frac{1}{3}=\frac{AF}{AC}=\frac{AF}{3}$，所以$AF = 1$。又△CAD为等腰三角形，$CF\perp AD$，所以$AD = 2AF = 2$。

14 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，D 为 BC 上一点，AB = 5，BD = 1，tan B = $\frac{3}{4}$．
(1)求 AD 的长；
(2)求 sin α 的值.

答案：
(1)由$\tan B=\frac{3}{4}$，可设$AC = 3x$，则$BC = 4x$。因为$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，所以$(3x)^{2}+(4x)^{2}=5^{2}$，解得$x = 1$或$x=-1$（舍去），所以$AC = 3$，$BC = 4$。因为$BD = 1$，所以$CD = 3$，所以$AD=\sqrt{CD^{2}+AC^{2}}=3\sqrt{2}$。
(2)如图，过点D作$DE\perp AB$于点E。由$\tan B=\frac{3}{4}$，可设$DE = 3y$，则$BE = 4y$。因为$BE^{2}+DE^{2}=BD^{2}$，所以$(3y)^{2}+(4y)^{2}=1^{2}$，解得$y=\frac{1}{5}$或$y =-\frac{1}{5}$（舍去），所以$DE=\frac{3}{5}$，所以$\sin\alpha=\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。

15（2023·杭州西湖区弘益中学二模）如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AD⊥BC 于点 D，DE 为 AC 边上的中线.
(1)若∠EDA = 3∠BAD，求∠C 的度数；
(2)若 tan∠EDA = 4，AB = 5，求点 A 到 BC 的距离.

答案：
(1)因为$AD\perp BC$，DE为AC边上的中线，所以$AE = DE = CE$，所以$\angle EAD=\angle EDA$。因为$\angle EDA = 3\angle BAD$，所以$\angle EAD = 3\angle BAD$。因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$3\angle BAD+\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD = 22.5^{\circ}$，所以$\angle EAD = 67.5^{\circ}$。因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle C = 22.5^{\circ}$。
(2)由
(1)可知，$\angle EAD=\angle EDA$，所以$\tan\angle EDA=\tan\angle EAD=\frac{CD}{AD}=4$，设$AD = x$，则$CD = 4x$，因为$\angle BAC=\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle C=\angle C$，所以$\triangle ACD\sim\triangle BCA$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{AC}$，即$\frac{x}{5}=\frac{4x}{AC}$，所以$AC = 20$，所以$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=5\sqrt{17}$，所以$AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{20\sqrt{17}}{17}$，即点A到BC的距离为$\frac{20\sqrt{17}}{17}$。