《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

1 如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，$AB$是直径，$D$是$AC$中点，直线$OD$与$\odot O$相交于$E$，$F$两点，$P$是$\odot O$外一点，$P$在直线$OD$上，连接$PA$，$PC$，$AF$，且满足$\angle PCA = \angle ABC$.
(1)求证：$PA$是$\odot O$的切线；
(2)若$BC = 8$，$\tan\angle AFP=\frac{2}{3}$，求$DE$的长.

答案：
(1) 因为D是弦AC中点，所以OD⊥AC，所以PD是AC的中垂线，所以PA = PC，所以∠PAC = ∠PCA。因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB = 90°，所以∠CAB + ∠CBA = 90°。又∠PCA = ∠ABC，所以∠PCA + ∠CAB = 90°，所以∠CAB + ∠PAC = 90°，即AB⊥PA。因为AB为直径，所以PA是⊙O的切线。
(2) 由
(1)得∠ADF = 90°，在Rt△ADF中，tan∠AFP = $\frac{AD}{DF}=\frac{2}{3}$，可设AD = 2a，则DF = 3a。因为点O，D分别是AB，AC的中点，所以OD是△ABC的中位线，所以OD = $\frac{1}{2}BC = 4$，所以AO = OF = OE = 3a - 4。因为OD² + AD² = AO²，即4² + 4a² = (3a - 4)²，解得a = $\frac{24}{5}$或a = 0(舍去)，所以DE = OE - OD = 3a - 8 = $\frac{32}{5}$。

2 （2023·深圳宝安区福民学校一模）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AE$平分$\angle BAC$交$BC$于点$E$，$O$为$AC$上一点，经过点$A$，$E$的$\odot O$分别交$AB$，$AC$于点$D$，$F$，连接$OD$交$AE$于点$M$.
(1)求证：$BC$是$\odot O$的切线；
(2)若$CF = 2$，$\sin C=\frac{3}{5}$，求$AE$的长.

答案：
(1) 如图
(1)，连接OE。 方法一：因为AE平分∠BAC交BC于点E，所以∠BAC = 2∠OAE。因为∠FOE = 2∠OAE，所以∠FOE = ∠BAC，所以OE//AB。因为∠B = 90°，所以∠OEC = 90°，所以OE⊥BC。又OE是⊙O的半径，所以BC是⊙O的切线。 方法二：因为AE平分∠BAC交BC于点E，所以∠OAE = ∠BAE。因为OA = OE，所以∠OAE = ∠OEA，所以∠BAE = ∠OEA，所以OE//AB。因为∠B = 90°，所以∠OEC = 90°，所以OE⊥BC。又OE是⊙O的半径，所以BC是⊙O的切线。
(2) 如图
(2)，连接EF。因为CF = 2，sin C = $\frac{3}{5}$，所以$\frac{OE}{OF + CF}=\frac{3}{5}$。因为OE = OF，所以OE = OF = 3。因为OA = OF = 3，所以AC = OA + OF + CF = 8，所以AB = AC·sin C = 8×$\frac{3}{5}=\frac{24}{5}$。因为∠OAE = ∠BAE，所以cos∠OAE = cos∠BAE，即$\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{AF}$，所以$\frac{\frac{24}{5}}{AE}=\frac{AE}{3 + 3}$，解得AE = $\frac{12\sqrt{5}}{5}$(舍去负数)，所以AE的长为$\frac{12\sqrt{5}}{5}$。

3 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，点$O$为$AB$上一点，经过点$A$，$D$的$\odot O$分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$，连接$DF$，连接$OF$交$AD$于点$G$.
(1)求证：$BC$是$\odot O$的切线；
(2)设$AB = a$，$AF = b$，试用含$a$，$b$的代数式表示线段$AD$的长；
(3)若$BE = 5$，$\sin B=\frac{3}{8}$，求$DG$的长.

答案：
(1) 如图
(1)，连接OD。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。因为OA = OD，所以∠ODA = ∠OAD，所以∠ODA = ∠CAD，所以OD//AC，所以∠ODB = ∠C = 90°，所以OD⊥BC。又OD是⊙O的半径，所以BC为⊙O的切线。
(2) 如图
(2)，连接EF。因为AE为⊙O的直径，所以∠AFE = ∠C = 90°，所以EF//BC，所以∠B = ∠AEF = ∠ADF。因为∠BAD = ∠DAF，所以△ABD∽△ADF，所以$\frac{AB}{AD}=\frac{AD}{AF}$，即AD² = AB·AF = ab，所以AD = $\sqrt{ab}$。
(3) 设圆的半径为r，则OD = r，OB = r + 5，在Rt△BOD中，sin B = $\frac{OD}{OB}=\frac{3}{8}$，即$\frac{r}{r + 5}=\frac{3}{8}$，解得r = 3，所以AE = 6，AB = 11。在Rt△AEF中，AF = AE·sin∠AEF = AE·sin B = 6×$\frac{3}{8}=\frac{9}{4}$，所以AD = $\sqrt{AB·AF}=\sqrt{11×\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\sqrt{11}$。因为AF//OD，所以$\frac{DG}{AG}=\frac{DO}{AF}=\frac{3}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{3}$，即$\frac{DG}{AD}=\frac{4}{7}$，所以DG = $\frac{4}{7}AD=\frac{6}{7}\sqrt{11}$。

4 如图，$BM$是以$AB$为直径的$\odot O$的切线，$B$为切点，$BC$平分$\angle ABM$，弦$CD$交$AB$于点$E$，$DE = OE$.
(1)求证：$\triangle ACB$是等腰直角三角形；
(2)求证：$OA^{2}=OE\cdot DC$；
(3)求$\tan\angle ACD$的值.

答案：
(1) 因为BM是以AB为直径的⊙O的切线，所以∠ABM = 90°。因为BC平分∠ABM，所以∠ABC = $\frac{1}{2}∠ABM = 45°$。因为AB是直径，所以∠ACB = 90°，所以∠CAB = ∠CBA = 45°，所以AC = BC，所以△ACB是等腰直角三角形。
(2) 如图
(1)，连接OD，OC。因为DE = OE，DO = CO，所以∠EDO = ∠EOD，∠EDO = ∠OCD，所以∠EOD = ∠OCD。因为∠EDO = ∠ODC，所以△EDO∽△ODC，所以$\frac{OD}{DC}=\frac{DE}{OD}$，所以OD² = DE·DC，所以OA² = DE·DC = OE·DC。
(3) 如图
(2)，连接BD，AD，DO，作∠BAF = ∠DBA，交BD于点F。因为DO = BO，所以∠ODB = ∠OBD，所以∠AOD = 2∠OBD = ∠EDO。因为∠CAB = ∠CDB = 45° = ∠EDO + ∠ODB = 3∠ODB，所以∠ODB = 15° = ∠OBD，所以∠BAF = ∠DBA = 15°，所以AF = BF，∠AFD = 30°。因为AB是直径，所以∠ADB = 90°，所以在Rt△ADF中，AF = 2AD，DF = $\sqrt{3}AD$，所以BD = DF + BF = $\sqrt{3}AD + 2AD$，所以tan∠ACD = tan∠ABD = $\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2 - \sqrt{3}$。