《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

11 若$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，且$\frac{AB}{A'B'}=2$，则$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的相似比是_______，$\triangle A'B'C'$与$\triangle ABC$的相似比是_______．

答案： 2 : 1@@1 : 2

12 如图，四边形ABCD∽四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，$\angle A = 80^{\circ}$，$\angle B = 75^{\circ}$，$\angle C = 125^{\circ}$，求x，$\angle D_{1}$．

答案： 因为∠C = 125°，∠A = 80°，∠B = 75°， 所以∠D = 360° - 125° - 80° - 75° = 80°. 因为两个四边形相似，所以∠D₁ = ∠D = 80°. 由$\frac{x}{5}=\frac{8}{4}$，解得x = 10.

13 一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$最长边为15，则四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的最短边长为( )．
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

答案： C

14 （2023·河南南阳方城期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，$\angle A = 80^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle F = 70^{\circ}$，则$\angle D$的度数为( )．

A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°

答案： C

15 如图，矩形ABCD∽矩形BCEF，若AB = 8，BC = 6，则CE的值为_______．

答案： $\frac{9}{2}$

16 如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分$\angle BAD$交BC于点E，过点E作EF//AB，交AD于点F，连接BF.
(1)求证：BF平分$\angle ABC$；
(2)若AB = 6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC的长.

答案：
(1) 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD//BC，AB = CD. 所以∠FAE = ∠AEB. 因为EF//AB，所以四边形ABEF是平行四边形. 因为AE平分∠BAD，所以∠FAE = ∠BAE， 所以∠BAE = ∠AEB，所以AB = EB， 所以四边形ABEF是菱形. 所以BF平分∠ABC.
(2) 因为四边形ABEF为菱形，所以BE = AB = 6. 因为四边形ABCD∽四边形CEFD， 所以$\frac{AB}{CE}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{6}{BC - 6}=\frac{BC}{6}$， 解得BC = 3 + 3$\sqrt{5}$（负值舍去）. 所以BC = 3 + 3$\sqrt{5}$.

17 如图，矩形$A'B'C'D'$在矩形ABCD的内部，AB//$A'B'$，AD//$A'D'$，且AD = 12，AB = 6，设AB与$A'B'$，BC与$B'C'$，CD与$C'D'$，DA与$D'A'$之间的距离分别为a，b，c，d．
(1)若a = b = c = d = 2，矩形$A'B'C'D'$∽矩形ABCD吗？为什么？
(2)若矩形$A'B'C'D'$∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么等量关系？请说明理由.

答案：
(1) 矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似. 理由如下： 因为$\frac{AD}{A′D′}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\neq\frac{AB}{A′B′}=\frac{6}{2}=3$， 所以矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似.
(2) 2d + 2b = a + c. 理由如下：如果矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD， 则$\frac{AD}{A′D′}=\frac{AB}{A′B′}$，所以$\frac{12}{12 - a - c}=\frac{6}{6 - d - b}$， 所以a，b，c，d应满足2d + 2b = a + c.