《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

9 如图，一次函数$y_{1}=kx + b$的图象与反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}$的图象相交于$A(-2,n)$，$B(3,-1)$两点，与$y$轴相交于点$C$.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点$D$与点$C$关于$x$轴对称，求$\triangle ABD$的面积.

答案：
(1)因为反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$的图象经过点B(3,-1)， 所以m = 3×(-1)= - 3， 所以反比例函数的解析式为$y_2=-\frac{3}{x}$。 因为点A(-2,n)在反比例函数图象上， 所以$n=\frac{3}{2}$，则点A的坐标为$(-2,\frac{3}{2})$， 将A,B两点的坐标代入y₁ = kx + b，得$\begin{cases}-1 = 3k + b\\\frac{3}{2}=-2k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}$， 所以一次函数的解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。
(2)因为一次函数交y轴于点C， 所以点C的坐标为$(0,\frac{1}{2})$。 因为点D与点C关于x轴对称， 所以点D的坐标为$(0,-\frac{1}{2})$，DC = 1， 将△ABD分为△ACD与△CBD两个部分， 所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BCD}$。 因为$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}DC·|x_A| = 1$，$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}CD·|x_B|=\frac{3}{2}$， 所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BCD}=\frac{5}{2}$。

10 一次函数$y = x + 2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$都过点$A(2,a)$.
(1)求$k$的值；
(2)若函数$y = mx + b(m＞0)$也过点$A$，且与$x$轴交于点$B$，$S_{\triangle AOB}＞8$，求$b$的取值范围.

答案：
(1)将(2,a)代入y = x + 2，得a = 2 + 2 = 4， 所以点A的坐标为(2,4)。 将(2,4)代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{2}$，解得k = 8。
(2)将(2,4)代入y = mx + b，得4 = 2m + b， 解得$m = 2-\frac{b}{2}$，所以$y=(2-\frac{b}{2})x + b$。 将y = 0代入$y=(2-\frac{b}{2})x + b$，得$0=(2-\frac{b}{2})x + b$， 解得$x=\frac{2b}{b - 4}$， 所以点B的坐标为$(\frac{2b}{b - 4},0)$。 因为$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OB·y_A = 2OB＞8$， 所以$\frac{2b}{b - 4}＞4$或$\frac{2b}{b - 4}＜-4$。 因为m＞0， 所以$2-\frac{b}{2}＞0$，即b＜4， 所以b - 4＜0， 所以2b＜4(b - 4)或2b＞-4(b - 4)， 解得b＞8(舍去)或$b＞\frac{8}{3}$， 所以$\frac{8}{3}＜b＜4$。

11（2023·乐山中考）如图，一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象交于点$A(m,4)$，与$x$轴交于点$B$，与$y$轴交于点$C(0,3)$.
(1)求$m$的值和一次函数的解析式；
(2)已知$P$为反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象上的一点，$S_{\triangle OBP}=2S_{\triangle OAC}$，求点$P$的坐标.

答案：
(1)因为点A(m,4)在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上， 所以$4=\frac{4}{m}$，所以m = 1，所以A(1,4)。 又点A(1,4),C(0,3)都在一次函数y = kx + b的图象上，所以$\begin{cases}k + b = 4\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 3\end{cases}$， 所以一次函数的解析式为y = x + 3。
(2)对于y = x + 3，当y = 0时，x = - 3，所以OB = 3， 因为C(0,3)，所以OC = 3， 如图，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP,BP。 因为$S_{\triangle OBP}=2S_{\triangle OAC}$， 所以$\frac{1}{2}OB·PD = 2×\frac{1}{2}OC·AH$， 即$\frac{1}{2}×3×PD = 2×\frac{1}{2}×3×1$，解得PD = 2， 所以点P的纵坐标为2或 - 2。 将y = 2或 - 2代入$y=\frac{4}{x}$，得x = 2或 - 2， 所以点P(2,2)或(-2,-2)。

12 如图，直线$AB$与$x$轴交于点$A(1,0)$，与$y$轴交于点$B(0,2)$，将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$AC$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0,x＞0)$的图象经过点$C$.
(1)求直线$AB$和反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0,x＞0)$的解析式；
(2)已知点$P$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0,x＞0)$图象上的一个动点，求点$P$到直线$AB$距离最短时的坐标.

答案：
(1)设直线AB的解析式为y = kx + b， 将点A(1,0)，点B(0,2)代入y = kx + b，得$\begin{cases}k + b = 0\\b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b = 2\end{cases}$， 所以直线AB的解析式为y = - 2x + 2。 如图，过点C作CD⊥x轴，则∠AOB = ∠CDA = 90°，所以∠CAD+∠ACD = 90°。 因为线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC， 所以∠BAC = 90°，BA = AC，所以∠BAO+∠CAD = 90°，所以∠BAO = ∠ACD，所以△ABO≌△CAD(AAS)， 所以AD = OB = 2，CD = OA = 1， 所以C(3,1)，因为反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象经过点C，所以将C(3,1)代入，得k = 3，所以反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
(2)设与AB平行的直线解析式为y = - 2x + h， 联立$\begin{cases}y=-2x + h\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$，所以 - 2x²+hx - 3 = 0。 当$\Delta=h² - 24 = 0$时，$h = 2\sqrt{6}$(负值舍去)，此时点P到直线AB距离最短。 - 2x²+2\sqrt{6}x - 3 = 0，解得$x_1=x_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 当$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$时，$y=\frac{3}{x}=\sqrt{6}$。 所以点P到直线AB距离最短时的坐标为$(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{6})$。