《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

12 (2023·内江中考)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a² + |c - 10| + $\sqrt{b - 8}$ = 12a - 36，则sin B的值为________.

答案： $\frac{4}{5}$@@ [解析]
∵$a^{2}+|c - 10|+\sqrt{b - 8}=12a - 36$，
∴$a^{2}-12a + 36+|c - 10|+\sqrt{b - 8}=0$，
∴$(a - 6)^{2}+|c - 10|+\sqrt{b - 8}=0$，
∴a - 6 = 0，c - 10 = 0，b - 8 = 0， 解得a = 6，b = 8，c = 10，
∴$a^{2}+b^{2}=6^{2}+8^{2}=100=10^{2}=c^{2}$，
∴∠C = 90°，
∴$sinB=\frac{b}{c}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。

13 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，a : c = 2 : 3，求∠A，∠B的正弦值.

答案： 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，a : c = 2 : 3， 设a = 2k，c = 3k。
∴$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{5}k$。
∴$sinA=\frac{a}{c}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$，$sinB=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。

14 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，AB = 3.
(1)求BC的长；
(2)求sin A的值.

答案：
(1)在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，AB = 3，
∴$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$。
(2)在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 3，BC = $\sqrt{5}$，
∴$sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。

15 在Rt△ABC中，∠C = 90°，sin A是方程5x² + 2x - 3 = 0的根，且斜边AB = 10，求两直角边BC，AC的长.

答案： 由$5x^{2}+2x - 3 = 0$，得$x_{1}=\frac{3}{5}$，$x_{2}=-1$。
∵∠A是Rt△ABC的一个锐角，
∴0 ＜ sin A ＜ 1。
∴$sinA=\frac{3}{5}$。 在Rt△ABC中，$BC = AB\cdot sinA=10\times\frac{3}{5}=6$。 由勾股定理，得$AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=10^{2}-6^{2}=64$。
∴AC = 8。

16 已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若关于x的方程(b + c)x² - 2ax + c - b = 0有两个相等的实数根，且sin²B - sin²A = 0，试判断△ABC的形状.

答案：
∵关于x的方程$(b + c)x^{2}-2ax + c - b = 0$有两个相等的实数根，
∴$(-2a)^{2}-4(b + c)(c - b)=0$， 化简，得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$，
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
∴∠C = 90°。 又$sin^{2}B - sin^{2}A = 0$，即$sin^{2}B = sin^{2}A$，
∴结合三角形的内角和∠C，可知∠A和∠B都是锐角，即sin B ＞ 0，sin A ＞ 0，
∴sin B = sin A。
∵0° ＜ ∠A ＜ 180°，0° ＜ ∠B ＜ 180°，
∴∠B = ∠A。
∵△ABC是直角三角形，∠A = ∠B，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形。

17 如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，点D在BC上，且CD = 2DB，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，求sin∠BED的值.

答案：
∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A = ∠EDF。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B = ∠A = ∠EDF = 45°。 由三角形外角性质，得∠CDF + 45° = ∠BED + 45°，
∴∠BED = ∠CDF。 设CD = 2，CF = x，则CA = CB = 3，
∴DF = AF = 3 - x。 在Rt△CDF中，由勾股定理，得$CF^{2}+CD^{2}=DF^{2}$， 即$x^{2}+4=(3 - x)^{2}$，解得$x=\frac{5}{6}$。
∴$sin∠BED = sin∠CDF=\frac{CF}{DF}=\frac{\frac{5}{6}}{3-\frac{5}{6}}=\frac{5}{13}$。