《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

10. （2023·哈尔滨南岗区模拟）如图，四边形$ABCD$是平行四边形，点$F$是边$CD$上一点，直线$BF$交$AD$的延长线于点$E$，则下列结论错误的是( ).

A. $\frac{ED}{EA}=\frac{DF}{AB}$
B. $\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$
C. $\frac{BC}{DE}=\frac{BF}{BE}$
D. $\frac{BF}{BE}=\frac{BC}{AE}$

答案： **C** [解析] 因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AD // BC$，$AB // CD$，所以 $\triangle EDF \sim \triangle EAB$，$\triangle EDF \sim \triangle BCF$，所以 $\frac{ED}{EA}=\frac{DF}{AB}=\frac{EF}{BE}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$，故 A，B 不符合题意，C 符合题意；所以 $EF=\frac{ED \cdot BE}{EA}$，所以 $\frac{DE}{BC}=\frac{ED \cdot BE}{FB \cdot EA}$，即 $\frac{BF}{BE}=\frac{BC}{AE}$，故 D 不符合题意。故选 C。

11. （2023·常德中考）如图（1），在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 8$，$BC = 6$，$D$是$AB$上一点，且$AD = 2$，过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$，将$\triangle ADE$绕点$A$顺时针旋转到图（2）的位置，则图（2）中$\frac{BD}{CE}$的值为_______.

答案： **$\frac{4}{5}$** [解析] 因为 $\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 8$，$BC = 6$，所以 $AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$。因为 $DE // BC$，所以 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$，所以 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。将 $\triangle ADE$ 绕点 $A$ 顺时针旋转到图
(2)的位置，所以 $\angle DAB=\angle EAC$，所以 $\triangle ADB \sim \triangle AEC$，所以 $\frac{BD}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。

12. （2022·合肥庐阳区四十二中三模）如图，锐角三角形$ABC$内接于$\odot O$，$\angle BAC$的平分线$AG$交$\odot O$于点$G$，连接$BG$.
(1)求证：$\triangle ABG\backsim\triangle AFC$；
(2)已知点$E$在线段$AF$上（不与点$A$，点$F$重合），点$D$在线段$AE$上（不与点$A$，点$E$重合），$\angle ABD=\angle CBE$，求证：$BG^{2}=GE\cdot GD$.

答案：
(1) 因为 $AG$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle BAG=\angle FAC$。又 $\angle AGB=\angle ACB$，所以 $\triangle ABG \sim \triangle AFC$。
(2) 因为 $\angle CAG=\angle CBG$，$\angle BAG=\angle CAG$，所以 $\angle BAG=\angle CBG$。因为 $\angle ABD=\angle CBE$，所以 $\angle BDG=\angle BAG+\angle ABD=\angle CBG+\angle CBE=\angle EBG$。又 $\angle DGB=\angle BGE$，所以 $\triangle DGB \sim \triangle BGE$。所以 $\frac{GD}{GB}=\frac{GB}{GE}$。所以 $BG^{2}=GE \cdot GD$。 解题关键：本题主要考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键。

13. （跨学科综合）（2023·唐山迁安二模）凸透镜成像的原理如图所示，$AD// l// BC$，若物体到焦点的距离$HF_{1}$与焦点到凸透镜中心线$DB$的距离$OF$之比为$3:2$，则该物体缩小为原来的( ).

A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{4}{9}$

答案： **C** [解析] 因为 $BC // l$，$CG \perp l$，$BO \perp l$，所以四边形 $OBCG$ 为矩形，所以 $OB = CG$。因为物体到焦点的距离 $HF_{1}$ 与焦点到凸透镜中心线 $DB$ 的距离 $OF$ 之比为 $3:2$，所以 $\frac{HF_{1}}{OF}=\frac{HF_{1}}{OF_{1}}=\frac{3}{2}$。因为 $AH \perp HO$，$BO \perp HO$，$\angle AF_{1}H=\angle BF_{1}O$，所以 $\triangle AH F_{1} \sim \triangle BOF_{1}$，所以 $\frac{AH}{OB}=\frac{HF_{1}}{OF_{1}}=\frac{3}{2}$，所以 $\frac{AH}{CG}=\frac{3}{2}$，所以物体被缩小到原来的 $\frac{2}{3}$。故选 C。