《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

17. 在$Rt\triangle ABC$中，$AC = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$AB$的中点，$\angle EDF = 45^{\circ}$，$\angle EDF$绕顶点$D$旋转，角的两边分别与$AC$，$BC$的延长线相交于点$E$，$F$，$DF$交$AC$于点$M$，$DE$交$BC$于点$N$.
(1)如图（1），若$CE = CF$，求证：$DE = DF$；
(2)如图（2），在$\angle EDF$绕点$D$旋转的过程中，求证：$CD^{2}=CE\cdot CF$；
(3)若$CD = 2$，$CF=\sqrt{2}$，求$DN$的长.

答案：

(1) 因为 $\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$D$ 是 $AB$ 的中点，所以 $\angle BCD=\angle ACD = 45^{\circ}$，$\angle BCE=\angle ACF = 90^{\circ}$。所以 $\angle DCE=\angle DCF = 135^{\circ}$。在 $\triangle DCE$ 与 $\triangle DCF$ 中，$\begin{cases}CE = CF\\\angle DCE=\angle DCF\\CD = CD\end{cases}$，所以 $\triangle DCE \cong \triangle DCF(SAS)$。所以 $DE = DF$。
(2) 因为 $\angle DCF=\angle DCE = 135^{\circ}$，所以 $\angle CDF+\angle F = 180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。因为 $\angle CDF+\angle CDE = 45^{\circ}$，所以 $\angle F=\angle CDE$。所以 $\triangle CDF \sim \triangle CED$。所以 $\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{CD}$。所以 $CD^{2}=CE \cdot CF$。
(3) 如图，过点 $D$ 作 $DG \perp BC$ 于点 $G$。 因为 $\angle DCB = 45^{\circ}$，所以 $GC = GD=\frac{\sqrt{2}}{2}CD=\sqrt{2}$。由
(2)可知 $CD^{2}=CE \cdot CF$，所以 $CE=\frac{CD^{2}}{CF}=\frac{2^{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$。因为 $\angle ECN=\angle DGN$，$\angle ENC=\angle DNG$，所以 $\triangle ENC \sim \triangle DNG$。所以 $\frac{CN}{GN}=\frac{CE}{GD}$，即 $\frac{\sqrt{2}-GN}{GN}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$。解得 $GN=\frac{\sqrt{2}}{3}$。则 $DN=\sqrt{GN^{2}+DG^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$。

18. 如图，点$P$是正方形$ABCD$边$AB$上一点（不与点$A$，$B$重合），连接$PD$并将线段$PD$绕点$P$顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到线段$PE$，$PE$交边$BC$于点$F$，连接$BE$，$DF$.
(1)若$\angle ADP = 32^{\circ}$，求$\angle FPB$的度数；
(2)若$AP=\sqrt{3}$，求$BE$的长；
(3)若$\triangle PFD\backsim\triangle BFP$，求$\frac{AP}{AB}$的值.

答案：

(1) 因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $\angle A = 90^{\circ}$。所以 $\angle ADP+\angle APD = 90^{\circ}$。因为 $\angle DPE = 90^{\circ}$，所以 $\angle APD+\angle FPB = 90^{\circ}$。所以 $\angle FPB=\angle ADP = 32^{\circ}$。
(2) 如图，过点 $E$ 作 $EQ \perp AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $Q$，则 $\angle EQP=\angle A = 90^{\circ}$。又 $\angle ADP=\angle EPB$，$PD = PE$，所以 $\triangle PAD \cong \triangle EQP(AAS)$。所以 $EQ = AP$，$AD = AB = PQ$。所以 $AP = EQ = BQ=\sqrt{3}$。所以 $BE=\sqrt{BQ^{2}+EQ^{2}}=\sqrt{6}$。
(3) 因为 $\triangle PFD \sim \triangle BFP$，所以 $\frac{PD}{BP}=\frac{PF}{BF}$。因为 $\angle A=\angle PBC$，$\angle ADP=\angle BPF$，所以 $\triangle APD \sim \triangle BFP$。所以 $\frac{PD}{PF}=\frac{AP}{BF}$。所以 $\frac{PD}{AP}=\frac{PF}{BF}$。所以 $AP = BP$。所以 $\frac{AP}{AB}=\frac{1}{2}$。

19. （2022·南通崇川区一模）在矩形$ABCD$中，$AB\lt BC$，$AB = 6$，$E$是射线$CD$上一点，点$C$关于$BE$的对称点$F$恰好落在射线$DA$上.
(1)如图，当点$E$在边$CD$上时，若$BC = 10$，$DF$的长为_______；若$AF\cdot DF = 9$时，求$DF$的长；
(2)作$\angle ABF$的平分线交射线$DA$于点$M$，当$\frac{MF}{BC}=\frac{1}{2}$时，求$DF$的长.

答案：

(1) **2** [解析] 当点 $E$ 在边 $CD$ 上时，因为点 $C$ 关于 $BE$ 的对称点 $F$ 恰好落在射线 $DA$ 上，所以 $BF = BC = 10$。所以 $AF=\sqrt{BF^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$。所以 $DF = AD - AF = 10 - 8 = 2$。因为四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $\angle A=\angle D = 90^{\circ}$。所以 $\angle AFB+\angle DFE = 90^{\circ}$，$\angle DEF+\angle DFE = 90^{\circ}$。所以 $\angle AFB=\angle DEF$。所以 $\triangle FAB \sim \triangle EDF$。所以 $\frac{AF}{DE}=\frac{AB}{DF}$。所以 $AF \cdot DF = AB \cdot DE$。因为 $AF \cdot DF = 9$，$AB = 6$，所以 $DE=\frac{3}{2}$。所以 $CE = CD - DE=\frac{9}{2}$。因为点 $C$ 关于 $BE$ 的对称点 $F$ 恰好落在射线 $DA$ 上，所以 $EF = CE=\frac{9}{2}$。所以 $DF=\sqrt{EF^{2}-DE^{2}} = 3\sqrt{2}$。
(2) ① 点 $F$ 在边 $AD$ 上时，过点 $M$ 作 $MN \perp BF$ 于点 $N$，如图
(1)。 因为 $BM$ 平分 $\angle ABF$，$MA \perp AB$，$MN \perp BF$，所以 $MA = MN$。因为 $\angle A=\angle MNF = 90^{\circ}$，$\angle AFB=\angle NFM$，所以 $\triangle FAB \sim \triangle FNM$，所以 $\frac{NM}{AB}=\frac{MF}{BF}$。因为 $\frac{MF}{BC}=\frac{1}{2}$，$BF = BC$，所以 $\frac{NM}{AB}=\frac{MF}{BF}=\frac{1}{2}$。因为 $AB = 6$，所以 $MN = 3$。在 $Rt\triangle ABM$ 和 $Rt\triangle NBM$ 中，$\begin{cases}BM = BM\\AM = NM\end{cases}$，所以 $Rt\triangle ABM \cong Rt\triangle NBM(HL)$。所以 $BN = AB = 6$。设 $MF = x$，则 $BF = BC = 2x$，所以 $FN = 2x - 6$。在 $Rt\triangle MNF$ 中，因为 $MN^{2}+FN^{2}=MF^{2}$，所以 $3^{2}+(2x - 6)^{2}=x^{2}$，解得 $x = 5$ 或 $x = 3$（舍去）。所以 $BC = 2x = 10$。所以 $AD = BC = 10$。所以 $DF = AD - AM - MF = 2$； ② 点 $F$ 在边 $DA$ 的延长线上时，过点 $M$ 作 $MN \perp BF$ 于点 $N$，如图
(2)。同①，得 $AM = MN = 3$，$BN = AB = 6$，$BC = AD = 10$。因为 $BF = BC = 10$，所以 $FN = BF - BN = 10 - 6 = 4$。所以 $MF=\sqrt{FN^{2}+MN^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。所以 $DF = AD + AM + MF = 18$。 综上，当 $\frac{MF}{BC}=\frac{1}{2}$ 时，$DF$ 的长为 $2$ 或 $18$。 易错提醒：本题只给出两线段的比，没有给出线段的点的位置，需分类讨论，否则容易出错。