《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

5 （2022·丽水松阳二模）如图，已知以$AB$为直径的半圆，圆心为$O$，弦$AC$平分$\angle BAD$，点$D$在半圆上，过点$C$作$CE\perp AD$，垂足为$E$，交$AB$的延长线于点$F$.
(1)求证：$EF$与半圆$O$相切于点$C$；
(2)若$AO = 3$，$BF = 2$，求$\tan\angle ACE$的值.

答案：
(1) 因为CE⊥AD，所以∠E = 90°。因为AC平分∠BAD，所以∠EAC = ∠CAO。因为OA = OC，所以∠CAO = ∠ACO，所以∠EAC = ∠ACO，所以AE//OC，所以∠E = ∠OCF = 90°，即OC⊥EF。因为OC是半圆O的半径，所以EF与半圆O相切于点C。
(2) 因为AO = 3，BF = 2，所以OF = OB + BF = 5，OC = 3，所以AF = OF + OA = 8。因为∠OCF = 90°，所以CF = $\sqrt{OF² - OC²}=\sqrt{5² - 3²}=4$。因为∠E = ∠OCF = 90°，∠F = ∠F，所以△FCO∽△FEA，所以$\frac{FC}{EF}=\frac{OC}{EA}=\frac{OF}{AF}$，所以$\frac{4}{EF}=\frac{3}{EA}=\frac{5}{8}$，所以EA = $\frac{24}{5}$，EF = $\frac{32}{5}$，所以CE = EF - CF = $\frac{12}{5}$。在Rt△ACE中，tan∠ACE = $\frac{AE}{CE}=\frac{\frac{24}{5}}{\frac{12}{5}}=2$，所以tan∠ACE的值为2。

6 （2023·葫芦岛连山区二模）如图，$AB$为$\odot O$的直径，点$C$在直径$AB$上（点$C$与$A$，$B$两点不重合），$OC = 3$，点$D$在$\odot O$上且满足$AC = AD$，连接$DC$并延长到点$E$，使$BE = BD$.
(1)求证：$BE$是$\odot O$的切线；
(2)若$BE = 6$，求$\cos\angle CDA$的值.

答案：
(1) 因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB = 90°，所以∠BDE + ∠ADC = 90°。因为AC = AD，所以∠ACD = ∠ADC。因为∠ACD = ∠ECB，所以∠ECB = ∠ADC。因为EB = DB，所以∠E = ∠BDE，所以∠E + ∠BCE = 90°，所以∠EBC = 180° - (∠E + ∠ECB) = 90°，所以OB⊥BE。因为OB是⊙O的半径，所以BE是⊙O的切线。
(2) 设⊙O的半径为r。因为OC = 3，所以AC = AD = AO + OC = 3 + r。因为BE = 6，所以BD = BE = 6。在Rt△ABD中，BD² + AD² = AB²，所以36 + (r + 3)² = (2r)²，解得r₁ = 5，r₂ = - 3(舍去)，所以BC = OB - OC = 5 - 3 = 2。在Rt△EBC中，EC = $\sqrt{EB² + BC²}=\sqrt{6² + 2²}=2\sqrt{10}$，所以cos∠ECB = $\frac{BC}{EC}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，所以cos∠CDA = cos∠ECB = $\frac{\sqrt{10}}{10}$，所以cos∠CDA的值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$。

7 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD = CD$，以$AB$为直径的$\odot O$经过点$C$，连接$AC$，$OD$交于点$E$.
(1)求证：$OD// BC$；
(2)若$\tan\angle ABC = 2$，求证：$DA$与$\odot O$相切.

答案：
(1) 连接OC。在△OAD和△OCD中，$\begin{cases}OA = OC \\ AD = CD \\ OD = OD\end{cases}$，所以△OAD≌△OCD(SSS)，所以∠ADO = ∠CDO。又AD = CD，所以DE⊥AC。因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB = 90°，即BC⊥AC，所以OD//BC。
(2) 由tan∠ABC = $\frac{AC}{BC}=2$，设BC = a，则AC = 2a，所以AD = AB = $\sqrt{AC² + BC²}=\sqrt{5}a$。因为OE//BC，且AO = BO，所以OE = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$，AE = CE = $\frac{1}{2}AC = a$。在Rt△AED中，DE = $\sqrt{AD² - AE²}=2a$，在△AOD中，AO² + AD² = ($\frac{\sqrt{5}a}{2}$)² + ($\sqrt{5}a$)² = $\frac{25}{4}a²$，OD² = (OE + DE)² = ($\frac{1}{2}a + 2a$)² = $\frac{25}{4}a²$，所以AO² + AD² = OD²，所以∠OAD = 90°，即OA⊥DA。因为OA是⊙O的半径，所以DA与⊙O相切。

8 如图，$D$是$\triangle ABC$的$BC$边上一点，连接$AD$，作$\triangle ABD$的外接圆，将$\triangle ADC$沿直线$AD$折叠，点$C$的对应点$E$落在$\odot O$上.
(1)求证：$AE = AB$；
(2)若$\angle CAB = 90^{\circ}$，$\cos\angle ADB=\frac{1}{3}$，$BE = 2$，求$BC$的长.

答案：
(1) 由折叠的性质，可知△ADE≌△ADC，所以∠AED = ∠ACD，AE = AC。因为∠ABD = ∠AED，所以∠ABD = ∠ACD，所以AB = AC，所以AE = AB。
(2) 如图，过点A作AH⊥BE于点H。因为AB = AE，BE = 2，所以BH = EH = 1。因为∠ABE = ∠AEB = ∠ADB，cos∠ADB = $\frac{1}{3}$，所以cos∠ABE = cos∠ADB = $\frac{1}{3}$，所以$\frac{BH}{AB}=\frac{1}{3}$，所以AC = AB = 3。因为∠BAC = 90°，AC = AB = 3，所以BC = 3$\sqrt{2}$。