《2025年课时训练九年级数学下册人教版江苏人民出版社》

1 已知矩形ABCD的一条边AD = 8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边CD上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.
(1)求证：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4.
①求边CP的长；
②求边AB的长.

答案： （1）因为四边形ABCD是矩形， 所以AD = BC，DC = AB，∠B = ∠C = ∠D = 90°。 由折叠可得AP = AB，PO = BO，∠PAO = ∠BAO，∠APO = ∠B。所以∠APO = 90°。 所以∠APD = 90° - ∠CPO = ∠POC。 因为∠D = ∠C，∠APD = ∠POC，所以△OCP∽△PDA。 （2）①因为△OCP与△PDA的面积比为1∶4， 所以$\frac{OC}{PD}=\frac{OP}{PA}=\frac{CP}{DA}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。 所以PD = 2OC，PA = 2OP，DA = 2CP。 因为AD = 8，所以CP = 4。 ②设OP = x，则OB = x，CO = 8 - x。 在Rt△PCO中， ∠C = 90°，CP = 4，OP = x，CO = 8 - x， 所以$x^{2}=(8 - x)^{2}+4^{2}$，解得x = 5。 所以AB = AP = 2OP = 10。故边AB的长为10。 

2 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形，AB = 2，BC = 3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
(2)如图(1)，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC = ∠ADC.
①求证：△ABC∽△DCA；
②求证：△ABC是比例三角形.

(3)如图(2)，在(2)的条件下，当∠ADC = 90°时，求出$\frac{BD}{AC}$的值.

答案：
（1）由△ABC是比例三角形，且AB = 2，BC = 3， ①当$AB^{2}=BC\cdot AC$时，得4 = 3AC，解得$AC=\frac{4}{3}$； ②当$BC^{2}=AB\cdot AC$时，得9 = 2AC，解得$AC=\frac{9}{2}$； ③当$AC^{2}=AB\cdot BC$时，得$AC^{2}=6$，解得$AC = \sqrt{6}$（负值舍去）。 所以当$AC=\frac{4}{3}$或$\frac{9}{2}$或$\sqrt{6}$时，△ABC是比例三角形。 （2）①因为AD//BC，所以∠ACB = ∠CAD。 又∠BAC = ∠ADC，所以△ABC∽△DCA。 ②由①知，△ABC∽△DCA， 所以$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}$，即$AC^{2}=BC\cdot AD$。 因为AD//BC，所以∠ADB = ∠CBD。 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD = ∠CBD， 所以∠ADB = ∠ABD，所以AB = AD， 所以$AC^{2}=BC\cdot AB$，所以△ABC是比例三角形。（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H。 因为AB = AD，所以$BH=\frac{1}{2}BD$。 因为AD//BC，∠ADC = 90°，所以∠BCD = 90°， 所以∠BHA = ∠BCD = 90°。 又∠ABH = ∠DBC，所以△ABH∽△DBC， 所以$\frac{AB}{DB}=\frac{BH}{BC}$，即AB·BC = BH·DB， 所以$AB\cdot BC=\frac{1}{2}BD^{2}$。又AB·BC = AC²， 所以$\frac{1}{2}BD^{2}=AC^{2}$，所以$\frac{BD}{AC}=\sqrt{2}$（负值舍去）。

3 (2023·昭通昭阳区二模)如图(1)，四边形ABCD是正方形，点E是对角线AC上一点(点E不与点A，C重合)，过点E作EF//CD，交BC于点F，作EG//BC，交CD于点G.
(1)求证：四边形EFCG是正方形；
(2)如图(2)，将四边形EFCG绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，连接AE，DG，求$\frac{AE}{DG}$的值.

答案： （1）因为四边形ABCD是正方形， 所以∠BCD = 90°，∠ACB = ∠ACD = 45°。 因为EG//BC，EF//CD， 所以四边形EFCG是平行四边形。 因为∠FCG = 90°，所以平行四边形EFCG是矩形， 所以EF⊥BC，EG⊥CD， 所以EF = EG（角平分线的性质）， 所以矩形EFCG是正方形。 （2）因为四边形ABCD，EFCG都是正方形， 所以$\frac{AC}{CD}=\frac{CE}{CG}=\sqrt{2}$，∠ACD = ∠ECG = 45°， 所以∠ACE = ∠DCG，所以△ACE∽△DCG， 所以$\frac{AE}{DG}=\frac{AC}{CD}=\sqrt{2}$。